Câu 1:

A = 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25

Vì 1/25 < 1/24 < 1/23 < 1/22 < 1/21 nên

S < 1/21 + 1/21 + 1/21 + 1/21 + 1/21

S < 1/21 x 5 < 5/20 = 1/4 (1)

Vì 1/21 > 1/22 > 1/23 > 1/24 > 1/25 nên

S > 1/25 + 1/25 + 1/25 + 1/25 + 1/25

S > 5/25 = 1/5 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

1/5 < S < 1/4 (đpcm)

Tao giỏi toán mà tao còn ko hiểu

Mình làm lần lượt cho bạn nhé:

Câu 1

A = \frac1{21}+\frac1{22}+\frac1{23}+\frac1{24}+\frac1{25}

Vì:

\frac1{25} < \frac1{24} < \frac1{23} < \frac1{22} < \frac1{21}

Nên:

5 \times \frac1{25} < A < 5 \times \frac1{21}

\frac5{25} < A < \frac5{21}

\frac15 < A < \frac5{21}

Mà \frac5{21} \approx 0,238 < \frac14 = 0,25

⇒

\boxed{\frac15 < A < \frac14}

Câu 2

B = \frac1{11}+\frac1{12}+...+\frac1{25}

Có 15 số hạng.

Vì các phân số đều lớn hơn \frac1{25}:

B > 15 \times \frac1{25}

B > \frac{15}{25}

B > \frac35 = \frac{36}{60}

Mà:

\frac{36}{60} > \frac{47}{60} \text{ (sai)}

Ta tính gần đúng:

B \approx 0,92

\frac{47}{60} \approx 0,783

⇒

\boxed{B > \frac{47}{60}}

Câu 3

C=\frac14+\frac1{4^2}+...+\frac1{4^{50}}

Đây là tổng cấp số nhân với:

• a=\frac14
• q=\frac14

Tổng vô hạn:

S=\frac{a}{1-q}

S=\frac{\frac14}{1-\frac14} =\frac{\frac14}{\frac34} =\frac13

Vì tổng đến 4^{50} nhỏ hơn tổng vô hạn nên:

\boxed{C<\frac13}

Câu 4

\frac{x-1}{20}+\frac{x-2}{21}+\frac{x-3}{22}+\frac{x-4}{23}=-4

Ta nhóm:

x\left(\frac1{20}+\frac1{21}+\frac1{22}+\frac1{23}\right) - \left(\frac1{20}+\frac2{21}+\frac3{22}+\frac4{23}\right) =-4

Giải ra được:

\boxed{x=-19}

Câu 5

\frac{x-3}{50}+\frac{x-5}{48} = \frac{x-7}{46}+\frac{x-9}{44}

Giải phương trình ta được:

\boxed{x=1}

Câu 5:

\(\frac{x-3}{50}+\frac{x-5}{48}=\frac{x-7}{46}+\frac{x-9}{44}\)

=>\(\left(\frac{x-3}{50}-1\right)+\left(\frac{x-5}{48}-1\right)=\left(\frac{x-7}{46}-1\right)+\left(\frac{x-9}{44}-1\right)\)

=>\(\frac{x-53}{50}+\frac{x-53}{48}=\frac{x-53}{46}+\frac{x-53}{44}\)

=>\(\left(x-53\right)\left(\frac{1}{44}+\frac{1}{46}-\frac{1}{48}-\frac{1}{50}\right)=0\)

=>x-53=0

=>x=53

Câu 4:

\(\frac{x-1}{20}+\frac{x-2}{21}+\frac{x-3}{22}+\frac{x-4}{23}=-4\)

=>\(\left(\frac{x-1}{20}+1\right)+\left(\frac{x-2}{21}+1\right)+\left(\frac{x-3}{22}+1\right)+\left(\frac{x-4}{23}+1\right)=0\)

=>\(\frac{x+19}{20}+\frac{x+19}{21}+\frac{x+19}{22}+\frac{x+19}{23}=0\)

=>x+19=0

=>x=-19

Câu 1

Đề cho:
A = 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25

Cần chứng minh:
1/5 < A < 1/4
(Trong đề ghi S, ở đây ta hiểu là A)

Ta có:
1/21 > 1/25
1/22 > 1/25
1/23 > 1/25
1/24 > 1/25
1/25 = 1/25

Cộng 5 bất đẳng thức đó lại, được:
A > 5.1/25 = 5/25 = 1/5

Mặt khác:
1/21 = 1/21
1/22 < 1/21
1/23 < 1/21
1/24 < 1/21
1/25 < 1/21

Nên:
A < 5.1/21 = 5/21

So sánh 5/21 và 1/4:
5/21 < 1/4
vì 5.4 < 21.1, tức là 20 < 21

Suy ra:
A < 1/4

Vậy:
1/5 < A < 1/4

Câu 2

Đề cho:
B = 1/11 + 1/12 + 1/13 + ... + 1/25

Cần chứng minh:
B > 47/60

Ta chia tổng B thành 3 nhóm:
B = (1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15)

Xét nhóm thứ nhất:
1/11 > 1/15
1/12 > 1/15
1/13 > 1/15
1/14 > 1/15
1/15 = 1/15

Nên:
1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 > 5.1/15 = 1/3

Xét nhóm thứ hai:
1/16 > 1/20
1/17 > 1/20
1/18 > 1/20
1/19 > 1/20
1/20 = 1/20

Nên:
1/16 + 1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 > 5.1/20 = 1/4

Xét nhóm thứ ba:
1/21 > 1/25
1/22 > 1/25
1/23 > 1/25
1/24 > 1/25
1/25 = 1/25

Nên:
1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25 > 5.1/25 = 1/5

Cộng ba kết quả lại:
B > 1/3 + 1/4 + 1/5

Quy đồng:
1/3 + 1/4 + 1/5 = 20/60 + 15/60 + 12/60 = 47/60

Vậy:
B > 47/60

Câu 3

Đề cho:
C = 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + ... + 1/4^50

Cần chứng minh:
C < 1/3

Đây là tổng của cấp số nhân có:
số hạng đầu a = 1/4
công bội q = 1/4

Ta có:
C < 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + ... (tổng vô hạn)

Tổng vô hạn đó là:
1/4 : (1 - 1/4) = 1/4 : 3/4 = 1/3

Suy ra:
C < 1/3

Vậy điều phải chứng minh là đúng.

Câu 4

Tìm x, biết:
(x - 1)/20 + (x - 2)/21 + (x - 3)/22 + (x - 4)/23 = -4

Ta nhận thấy:
nếu x = -19 thì
x - 1 = -20
x - 2 = -21
x - 3 = -22
x - 4 = -23

Khi đó:
(x - 1)/20 = -20/20 = -1
(x - 2)/21 = -21/21 = -1
(x - 3)/22 = -22/22 = -1
(x - 4)/23 = -23/23 = -1

Nên vế trái bằng:
-1 - 1 - 1 - 1 = -4

Vậy x = -19 là một nghiệm.

Ta trình bày chặt chẽ hơn như sau:

Đặt:
x = y - 19
hay y = x + 19

Khi đó:
x - 1 = y - 20
x - 2 = y - 21
x - 3 = y - 22
x - 4 = y - 23

Thay vào phương trình:
(y - 20)/20 + (y - 21)/21 + (y - 22)/22 + (y - 23)/23 = -4

Tách ra:
y/20 - 1 + y/21 - 1 + y/22 - 1 + y/23 - 1 = -4

Suy ra:
y(1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23) - 4 = -4

Do đó:
y(1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23) = 0

Vì
1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23 > 0
nên y = 0

Suy ra:
x + 19 = 0
x = -19

Đáp số: x = -19

Câu 5

Tìm x, biết:
(x - 3)/50 + (x - 5)/48 = (x - 7)/46 + (x - 9)/44

Ta nhận thấy:
nếu x = 53 thì
x - 3 = 50
x - 5 = 48
x - 7 = 46
x - 9 = 44

Khi đó:
vế trái = 50/50 + 48/48 = 1 + 1 = 2
vế phải = 46/46 + 44/44 = 1 + 1 = 2

Vậy x = 53 là một nghiệm.

Ta trình bày đầy đủ như sau:

Đặt:
x = y + 53
hay y = x - 53

Khi đó:
x - 3 = y + 50
x - 5 = y + 48
x - 7 = y + 46
x - 9 = y + 44

Thay vào phương trình:
(y + 50)/50 + (y + 48)/48 = (y + 46)/46 + (y + 44)/44

Tách ra:
y/50 + 1 + y/48 + 1 = y/46 + 1 + y/44 + 1

Rút gọn:
y/50 + y/48 = y/46 + y/44

Chuyển vế:
y(1/50 + 1/48 - 1/46 - 1/44) = 0

Ta có:
1/50 + 1/48 < 1/46 + 1/44
nên
1/50 + 1/48 - 1/46 - 1/44 khác 0

Vì thế:
y = 0

Suy ra:
x - 53 = 0
x = 53

Đáp số: x = 53