\(x:\left(3-2\right)^2=\left(3-2\right)^3\)

\(x=\left(3-2\right)^3\cdot\left(3-2\right)^2\)

\(x=\left(3-2\right)^5=1^5\)

⇒ x = 1

vậy x = 1

x:(3-2)2=(3-2)3

x:1.2=1.3

x:2=3

x=6

\(\frac{x+3}{4}=\frac{4}{5}\)

=> \(\left(x+3\right).5=4.4\)

=>\(x+3=\frac{16}{5}\)

=>\(x=\frac{16}{5}-3\)

=>\(x=\frac{16}{5}-\frac{15}{5}\)

=>\(x=\frac{1}{5}\)

📝 Chứng minh các Đẳng thức về Lũy Thừa

1. Đẳng thức thứ nhất: $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^2 \times (-a)^2]^5 = 0}$

Chứng minh:

Ta biến đổi từng thành phần của vế trái (VT).

A. Thành phần thứ nhất: $\mathbf{-a^5 \times (-a)^5}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa: $(-a)^5 = -a^5$ (vì số mũ là số lẻ). $$\mathbf{-a^5 \times (-a)^5} = -a^5 \times (-a^5)$$ $$= -(-a^{5+5})$$ $$= -(-a^{10})$$ $$= \mathbf{a^{10}}$$

B. Thành phần thứ hai: $\mathbf{[-a^2 \times (-a)^2]^5}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa: $(-a)^2 = a^2$ (vì số mũ là số chẵn). $$\mathbf{[-a^2 \times (-a)^2]^5} = [-a^2 \times a^2]^5$$ $$= [-a^{2+2}]^5$$ $$= [-a^4]^5$$
• Áp dụng quy tắc lũy thừa (số mũ 5 là số lẻ): $[-x]^5 = -x^5$ $$= -(a^4)^5$$ $$= -a^{4 \times 5}$$ $$= \mathbf{-a^{20}}$$

C. Tổng kết Vế Trái (VT):

Lưu ý quan trọng: Đẳng thức ban đầu có vẻ có lỗi gõ. Nếu đẳng thức được viết đúng là:

(Tức là $(-a^2)^5$ thay vì $(-a^2 \times (-a)^2)^5$, hoặc có lỗi mũ).

GIẢ SỬ đẳng thức được viết đúng là: $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^{10}] = 0}$ (Đây là giả định thường gặp trong các bài toán chứng minh sơ cấp khi có lỗi gõ)

• Thành phần 1: $-a^5 \times (-a)^5 = a^{10}$
• Thành phần 2: $-a^{10}$
• $VT = a^{10} + (-a^{10}) = \mathbf{0}$ (Đúng với Vế Phải (VP)).

KẾT LUẬN: Với cách viết nguyên bản $\mathbf{[-a^5 \times (-a)^5] + [-a^2 \times (-a)^2]^5 = a^{10} - a^{20}}$, đẳng thức không bằng 0 trừ khi $a=1$ hoặc $a=0$. Rất có thể đề bài có lỗi gõ và nên được sửa thành $\mathbf{a^{10} - a^{10} = 0}$.

2. Đẳng thức thứ hai: $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k} = (-a)^n \times a^k}$

Chứng minh:

Ta biến đổi Vế Trái (VT) và Vế Phải (VP) để so sánh.

A. Biến đổi Vế Trái (VT): $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k}}$

• Áp dụng quy tắc lũy thừa (số mũ chẵn): $(-a)^2 = a^2$. $$VT = a^2 \times a^{n-k}$$
• Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: $a^m \times a^p = a^{m+p}$. $$VT = a^{2 + (n-k)} = \mathbf{a^{n - k + 2}}$$

B. Biến đổi Vế Phải (VP): $\mathbf{(-a)^n \times a^k}$

• Sử dụng quy tắc nhân lũy thừa: $a^m \times a^p = a^{m+p}$. $$VP = (-a)^n \times a^k$$

C. So sánh:

Để $VT = VP$, ta cần có:

Điều này chỉ đúng khi:

1. Nếu n chẵn: $(-a)^n = a^n$.
2. • $VP = a^n \times a^k = a^{n+k}$.
   • Yêu cầu: $a^{n - k + 2} = a^{n+k} \implies n - k + 2 = n + k \implies 2 = 2k \implies \mathbf{k = 1}$.
   • Đẳng thức chỉ đúng khi $n$ chẵn và $k=1$ (hoặc $a=0$ hoặc $a=1$).
3. Nếu n lẻ: $(-a)^n = -a^n$.
4. • $VP = -a^n \times a^k = -a^{n+k}$.
   • Yêu cầu: $a^{n - k + 2} = -a^{n+k} \implies$ Vô lý (vì $a^{n - k + 2}$ luôn $\ge 0$ còn $-a^{n+k} \le 0$, chỉ bằng nhau khi $a=0$).

KẾT LUẬN: Đẳng thức $\mathbf{(-a)^2 \times a^{n-k} = (-a)^n \times a^k}$ KHÔNG ĐÚNG trong trường hợp tổng quát. Đẳng thức chỉ đúng khi $n$ là số chẵn và $k=1$ (hoặc $a=0$ hoặc $a=1$). Rất có thể đây cũng là một lỗi gõ, và đẳng thức đúng cần phải là:

Sửa đề: Tia Bx là phân giác của góc ABC, cắt AD tại E

ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)

=>\(\hat{ABC}=56^0\)

AB//CD

=>\(\hat{BAD}+\hat{ADC}=180^0\)

=>\(\hat{BAD}=180^0-56^0=124^0\)

BE là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABE}=\hat{CBE}=\frac12\cdot\hat{ABC}=\frac{56^0}{2}=28^0\)

Xét ΔABE có \(\hat{BED}\) là góc ngoài tại đỉnh E

nên \(\hat{BED}=\hat{EAB}+\hat{EBA}=124^0+28^0=152^0\)

B = |x - 1| + |x - 3|

Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi 1 ≤ x ≤ 3.

B=|x-1|+|x-3|

=|x-1|+|3-x|>=|x-1+3-x|=2∀x

Dấu '=' xảy ra khi (x-1)(x-3)<=0

=>1<=x<=3

\(a,5x^3-3x^2+x-x^3-4x^2-x\)

\(=4x^3-7x^2\)

\(b,y^2+2y-2y^2-3y+3\)

\(=-y^2-y+3\)

\(c,\frac{1}{2}x^3-2x^2-4x-\frac{1}{2}x^3-x+1\)

\(=\frac{1}{6}x^3-2x^2-5x+1\)

\(d,\frac{3}{4}xy^2-\frac{1}{2}y^2-\left(-\frac{1}{4}xy^2\right)+\frac{2}{3}y^2\)

\(=xy^2+\frac{1}{6}y^2\)

\(e,2xy-2yz.z+xy+\frac{1}{2}z^2y+2zy\cdot y\)

\(=3xy-\frac{3}{2}z^2y+2zy^2\)

\(g,3^n+3^{n+2}\)

\(=3^n+3^n.3^2\)

\(=3^n\cdot10\)

\(h,1,5\cdot2^n-2^{n-1}\)

\(=1,5\cdot2^n-2^n\cdot\frac{1}{2}\)

\(=2^n\cdot1\)

\(=2^n\)

\(i,2^n-2^n-2\)

\(=-2\)

\(k,\frac{2}{3}\cdot3^n-3^{n-1}\)

\(=\frac{2}{3}\cdot3^n-3^n\cdot\frac{1}{3}\)

\(=3^n\cdot\frac{1}{3}\)

\(=\frac{3^n}{3}\)

sẵn bán nick luôn :)

Cái này hơi lâu thật,nhưng kiên trì 1 chút là đc ngay thôi bn !

a, \(5x^3-3x+x-x^3-4x^2-x=4x^3-3x-4x^2\)

b, \(y^2+2y-2y^2-3y+3=-y^2-y+3\)

c, \(\frac{1}{2}x^3-2x^2-4x-\frac{1}{2}x^3-x+1=-2x^2-5x+1\)

d, \(\frac{3}{4}xy^2-\frac{1}{2}y^2-\left(-\frac{1}{4}xy^2\right)+\frac{2}{3}y^2=\frac{3}{4}xy^2-\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{4}xy^2+\frac{2}{3}y^2=xy^2+\frac{1}{6}y^2\)

e, \(2xy-2yz.z+xy+\frac{1}{2}z^2y+2zy.y=2xy-2yz^2+xy+\frac{1}{2}z^2y+2zy^2=3xy-\frac{3}{2}z^2y+2zy^2\)

g, \(3^n+3^{n+2}\)( chắc tối giản rồi,ko phân tích đc nữa. )

h, \(1,5.2^n-2^{n-1}\)( chắc tối giản rồi,ko phân tích đc nữa. )

i, \(2^n-2^n-2=-2\)

k, \(\frac{2}{3}.3^n-3^{n-1}\)( chắc tối giản rồi,ko phân tích đc nữa. )

Có j sai,mong mọi người góp ý,thông cảm ạ.

(x-\(\frac{4}{3}\))³_=(-1)³

_{^{⇔x-\(\frac{4}{3}\)}}=-1

⇔x=\(\frac{1}{3}\)

(x-2)²=1

⇔x-2=1 hoặc x-2=-1

⇒x=3 hoặc x=1

a) \(\left(x-\frac{4}{3}\right)^3=-1\)

⇒ \(\left(x-\frac{4}{3}\right)^3=\left(-1\right)^3\)

⇒ \(x-\frac{4}{3}=-1\)

⇒ \(x=\left(-1\right)+\frac{4}{3}\)

⇒ \(x=\frac{1}{3}\)

Vậy \(x=\frac{1}{3}.\)

b) \(\left(x-2\right)^2=1\)

⇒ \(x-2=\pm1\)

⇒ \(\left[{}\begin{matrix}x-2=1\\x-2=-1\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left[{}\begin{matrix}x=1+2\\x=\left(-1\right)+2\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{3;1\right\}.\)

Chúc bạn học tốt!

Do x+y+z và |x|+|y|+|z| luôn cùng tính chẵn lẻ với mọi nguyên x,y,z

Suy ra \(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) có cùng tính chẵn lẻ với a-b+b-c+c-a

Mà a-b+b-c+c-a=0 là số chẵn

Suy ra \(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn

Do \(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|=2024^{a}+2025^{a}\)

Nên \(2024^{a}+2025^{a}\) cũng là số chẵn

Nếu a≠0, do 2024 chẵn và 2025 lẻ nên \(2024^{a}+2025^{a}\) lẻ (ko thỏa mãn)

=>a=0

Thay vào đề bài:

\(\left|0-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-0\right|=2\Rightarrow\left|b\right|+\left|c\right|+\left|b-c\right|=2\)

- Nếu b,c đều khác 0, do b,c nguyên nên \(\left|b\right|\ge1;\left|c\right|\ge1\Rightarrow\left|b\right|+\left|c\right|\ge2\)

\(\Rightarrow\left|b\right|+\left|c\right|+\left|b-c\right|\ge2\)

Mà \(\left|b\right|+\left|c\right|+\left|b-c\right|=2\Rightarrow\begin{cases}\left|b\right|=1\\ \left|c\right|=1\\ \left|b-c\right|=0\end{cases}\) \(\Rightarrow b=c=\pm1\)

- Nếu trong 2 số b, có 1 số bằng 0. Do vai trò b,c như nhau, giả sử b=0

Thay vào: \(\left|0\right|+\left|c\right|+\left|0-c\right|=2\Rightarrow2\left|c\right|=2\Rightarrow\left|c\right|=1\)

\(\Rightarrow c=\pm1\)

Vậy các sộ số nguyên a,b,c thỏa mãn yêu cầu là:

\(\left(a,b,c\right)=\left(0,0,1\right);\left(0,1,0\right),\left(0,0,-1\right),\left(0,-1,0\right);\left(0,1,1\right),\left(0,-1,-1\right)\)

Cho bài toán:

Tìm các số nguyên \(a , b , c\) sao cho:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2024^{a} + 2025^{a}\)

Phân tích:

• Vế trái là tổng ba giá trị tuyệt đối, luôn không âm.
• Vế phải là tổng hai số mũ với cơ số lớn \(2024\) và \(2025\), lũy thừa \(a\).
• \(a , b , c \in \mathbb{Z}\) (số nguyên).

Bước 1: Bất đẳng thức về tổng các giá trị tuyệt đối

Ta có:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid \geq \mid a - c \mid\)

Do đó:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid \geq \mid a - c \mid + \mid c - a \mid = 2 \mid a - c \mid\)

Nhưng bên trái thực ra bằng:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2 \times (\text{kho}ả\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{l}ớ\text{n}\&\text{nbsp};\text{nh} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ\text{a}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp}; a , b , c )\)

Cụ thể, vì tổng ba giá trị tuyệt đối của 3 điểm trên trục số là gấp đôi độ dài đoạn thẳng lớn nhất giữa chúng.

Bước 2: Xét vế phải

• Nếu \(a < 0\), thì \(2024^{a}\) và \(2025^{a}\) là các số phân số rất nhỏ (dương) do số mũ âm.
• Nếu \(a = 0\), thì:

\(2024^{0} + 2025^{0} = 1 + 1 = 2\)

• Nếu \(a > 0\), thì \(2024^{a} + 2025^{a}\) là số rất lớn, nhanh tăng.

Bước 3: So sánh quy mô hai vế

• Vế trái là số nguyên không âm, ít nhất là 0.
• Vế phải là số dương (do lũy thừa dương), rất lớn nếu \(a > 0\).

Bước 4: Xét từng trường hợp

• Trường hợp \(a < 0\):

Vế phải là số nhỏ hơn 2 (do \(2024^{a} , 2025^{a} < 1\)), còn vế trái là số nguyên không âm (phải là số nguyên, vì \(a , b , c\) nguyên), nên vế trái ít nhất bằng 0. Rất khó bằng một số phân số nhỏ.

• Trường hợp \(a = 0\):

Vế phải là \(2\).

Vậy:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2\)

Vì \(a = 0\), thì \(a = 0\).

Ta cần tìm \(b , c\) nguyên sao cho:

\(\mid 0 - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - 0 \mid = 2\)

Cách này ta dễ kiểm tra.

• Gọi \(b = m\), \(c = n\).

Ta có:

\(\mid m \mid + \mid m - n \mid + \mid n \mid = 2\)

Bước 5: Tìm \(m , n\) nguyên thỏa mãn

Ta cần tổng ba giá trị tuyệt đối bằng 2.

• Các giá trị tuyệt đối là không âm, nên tổng ba số này bằng 2 nghĩa là tổng này khá nhỏ.

Thử các trường hợp:

• Nếu \(m = 0\), thì

\(0 + \mid 0 - n \mid + \mid n \mid = \mid n \mid + \mid n \mid = 2 \mid n \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid n \mid = 1\)

• Nếu \(m = 0 , n = \pm 1\) thì tổng đúng bằng 2.
• Nếu \(n = 0\), thì

\(\mid m \mid + \mid m - 0 \mid + 0 = \mid m \mid + \mid m \mid = 2 \mid m \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid m \mid = 1\)

• Nếu \(m = \pm 1 , n = 0\), cũng thỏa.
• Nếu \(m = n\), thì

\(\mid m \mid + 0 + \mid m \mid = 2 \mid m \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid m \mid = 1\)

Thí dụ: \(m = n = \pm 1\)

Bước 6: Tổng hợp nghiệm

Với \(a = 0\), \(b , c\) thỏa mãn:

\(\mid b \mid + \mid b - c \mid + \mid c \mid = 2\)

Các bộ nghiệm là:

• \(\left(\right. b , c \left.\right) = \left(\right. 0 , \pm 1 \left.\right) , \left(\right. \pm 1 , 0 \left.\right) , \left(\right. \pm 1 , \pm 1 \left.\right)\)

Bước 7: Trường hợp \(a > 0\)

Vế phải rất lớn, vế trái nhỏ nhất là 0 (khi \(a = b = c\)), nhưng không thể bằng một số rất lớn. Do đó, không thỏa.

Kết luận:

• Các số nguyên \(a , b , c\) thỏa mãn phương trình là:

\(a = 0\)

và

\(\mid b \mid + \mid b - c \mid + \mid c \mid = 2\)

Cụ thể các bộ \(\left(\right. b , c \left.\right)\) như trên.