(x – 2014)^3 + (x + 2012)^3 = 8(x – 1)^3

\(\Leftrightarrow\left(x-2014\right)^3+\left(x+2012\right)^3=\left(2x-2\right)^3\)(1)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x-2014=a\\x+2012=b\\2x-2=c\end{cases}}\)thay vào pt (1) ta được: 

\(a^3+b^3=c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-c^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)c+c^2\right]-ab\left(a+b\right)=0\)(2)

Thay \(a=x-2014;b=x+2012;c=2x-2\)hay \(a+b-c=0\)vào (2) ta được:

\(\left(x-2014\right)\left(x+2012\right)\left(2x-2\right)=0\)

... nốt 

 Mọi người ơi giúp em mấy bài toán này với. Em cảm ơn rất nhiều ạ.

1. Cho các số a,b,c,d thỏa mãn \(a^2+b^2+\left(a+b\right)^2=c^2+d^2+\left(c+d\right)^2\)

Chứng minh rằng : \(a^4+b^4+\left(a+b\right)^4=c^4+d^4+\left(c+d\right)^4\)

2.Cho các số a,b,c thỏa mãn :\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=1\\a^3+b^3+c^3=1\end{cases}}\)

Tính giá trị của H=\(H=a^{2014}+b^{2015}+c^{2016}\)

3.Cho a,b là các số nguyên sao ccho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d thỏa mãn \(a-b=a^2c-b^2d\)

Chứng minh rằng : |a-b| là số chính phương

1. Determine all pairs of integer (x;y) such that \(2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)

2. Let a,b,c satisfies the conditions

           \(\hept{\begin{cases}5\ge a\ge b\ge c\ge0\\a+b\le8\\a+b+c=10\end{cases}}\)

      Prove that \(2a^2+b^2+c^2\le38\)

3. Let a nad b satis fy the conditions

           \(\hept{\begin{cases}a^3-6a^2+15a=9\\b^3-3b^2+6b=-1\end{cases}}\) 

 Find the value of\(\left(a-b\right)^{2014}\) ?

4. Find the smallest positive integer n such that the number \(2^n+2^8+2^{11}\) is a perfect square.

\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

TH1: Với a+b+c=0\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)

Ta có:\(S=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

\(=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}\)

\(=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}\)

\(=-1\)

TH2: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\left(1\right)\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0;\forall a,b,c\\\left(b-c\right)^2\ge0;\forall a,b,c\\\left(c-a\right)^2\ge0;\forall a,b,c\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0;\forall a,b,c\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c\)

Ta có: \(S=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

\(=2.2.2=8\)

Vậy .... ( ko bít ghi kiểu gì luôn -.- )