Tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1, có dạng :

\(y=\left(m+1\right)x+\frac{m}{2}+1\)

D song song với đường thẳng y = 5x\(\Leftrightarrow\begin{cases}m+1=5\\\frac{m}{2}+1\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=4\)

Vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Tại sao lại là (m+1)x ạ, em không hiểu lắm ạ

Ta có : \(y'=3x^2-2\left(m-1\right)x+3m+1\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm, ta có : \(x_0=1\Rightarrow y_0=3m+1,y'\left(1\right)=m+6\)

Phương trình tiếp tuyến tại M  : \(y=\left(m+6\right)\left(x-1\right)+3m+1\)

Tiếp tuyến đi qua A \(\Leftrightarrow-1=m+6+3m+1\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm

a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)

Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)

Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm

b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\). 

Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)

Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)

Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)

Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)

                           \(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)

                \(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)          \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)

Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)

Tập xác định \(D=R\backslash\left\{2-m\right\}\)

Ta có : \(y'=\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}\)

a) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng :

\(y=x+1\) khi \(y'\left(1\right)=-1\Leftrightarrow\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}=-1\Leftrightarrow m=0;m=2\)

* Với m = 0 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-1\right)-1=-x\)

* Với m = 2 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-2\right)+3=-x+5\)

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

b) G\(m\ge1+\sqrt{2};m\le1-\sqrt{2}\)ọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm. Ta có \(y'\left(x_0\right)=-\frac{1}{2}\)

\(\frac{m^2-2m-1}{\left(x_0+m-2\right)^2}=-\frac{1}{2}\) (*)

Yêu cầu bài toán suy ra (*) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi :

\(m^2-2m-1\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m\ge1+\sqrt{2}\\m\le1-\sqrt{2}\end{array}\right.\)

Vậy giá trị cần tìm là \(m\le1-\sqrt{2};m\ge1+\sqrt{2}\)

a. Tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình :

\(y=\left(m-2\right)\left(x-1\right)+3m-2=\left(m-2\right)x+3m\)

Yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi \(\begin{cases}m-2=3\\2m\ne10\end{cases}\) vô nghiệm

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b. Ta có \(y'=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+m-\frac{7}{3}=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{7}{3}\)

Suy ra \(y'\ge m-\frac{7}{3}\)

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{2}{3}\) có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị \(k=m-\frac{7}{3}\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow k.2=-1\Leftrightarrow\left(m-\frac{7}{3}\right).2=-1\Leftrightarrow m=\frac{11}{6}\)

Ta có \(\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng d

\(y'=3x^2-2\left(m+2\right)x+m-1\Rightarrow y'\left(1\right)=3-2m-4+m-1=-m-2\)

Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra phương trình của  \(\Delta\) có dạng \(y=y'\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{n}=\left(m+2;1\right)\) là vecto pháp tuyến của  \(\Delta\)

Theo đề bài ta có : \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\cos30^0\Rightarrow\frac{\left|\overrightarrow{n_1.}\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow\frac{\left|2\left(m+2\right)+1\right|}{\sqrt{5}\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

                         \(\Leftrightarrow m^2+20m+25=0\)

                         \(\Leftrightarrow m=-10\pm5\sqrt{3}\)

Ta có \(M\left(-1;-2\right)\)

Phương trình của (C) tại M là \(\Delta:y=y'\left(-1\right)\left(x+1\right)-2\)

                                     hay \(\Delta:y=9x+7\)

\(\Delta\) // d \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+5=9\\3m+1\ne7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=\pm2\\m\ne2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=-2\)

Câu 1:

\(y=x^3-3x^2-2\Rightarrow y'=3x^2-6x\)

Gọi hoành độ của M là \(x_M\)

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M bằng 9 tương đương với:

\(f'(x_M)=3x_M^2-6x_M=9\)

\(\Leftrightarrow x_M=3\) hoặc $x_M=-1$

\(\Rightarrow y_M=-2\) hoặc \(y_M=-6\)

Vậy tiếp điểm có tọa độ (3;-2) hoặc (-1;-6)

Đáp án B

Câu 2:

Gọi hoành độ tiếp điểm là $x_0$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm là:

\(f'(x_0)=x_0^2-4x_0+3\)

Vì tt song song với \(y=3x-\frac{20}{3}\Rightarrow f'(x_0)=3\)

\(\Leftrightarrow x_0^2-4x_0+3=3\Leftrightarrow x_0=0; 4\)

Khi đó: PTTT là:

\(\left[{}\begin{matrix}y=3\left(x-0\right)+f\left(0\right)=3x+4\\y=3\left(x-4\right)+f\left(4\right)=3x-\dfrac{20}{3}\end{matrix}\right.\) (đt 2 loại vì trùng )

Do đó \(y=3x+4\Rightarrow \) đáp án A

Câu 3:

PT hoành độ giao điểm:

\(\frac{2x+1}{x-1}-(-x+m)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+(1-m)x+(m+1)=0\) (1)

Để 2 ĐTHS cắt nhau tại hai điểm pb thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta=(1-m)^2-4(m+1)> 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m-3> 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 3-2\sqrt{3}\\m>3+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với m nguyên và \(m\in (0;10)\Rightarrow m=7;8;9\)

Có 3 giá trị m thỏa mãn.