Ta có hình vẽ sau:

M P Q N I A R

a/ Xét ΔAMQ và ΔANP có:

AM = AN (gt)

\(\widehat{MAQ}=\widehat{NAP}\) (đối đỉnh)

AQ = AP (gt)

=> ΔAMQ = ΔANP (c.g.c) (đpcm)

b/ Vì ΔAMQ = ANP (ý a)

=> \(\widehat{QMA}=\widehat{PNA}\) (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong nên

=> MQ // PN (đpcm)

c/+) Xét ΔAMI và ΔANR có:

\(\widehat{MAI}=\widehat{NAR}\) (đối đỉnh)

AM = AN(gt)

\(\widehat{AMI}=\widehat{RNA}\) (so le trong do MQ // PN (ý b))

=> ΔAMI = ΔANR (g.c.g)

=> MI = NR (1)

+) CM tương tự ta có:

ΔAQI = ΔAPR (g.c.g)

=> QI = PR (2)

Từ (1); (2) và I là trung điểm của MQ

=> RP = RN (đpcm)

giúp mình với!!!!!!!!!
 

A B C M N Q P O R S T A B C H M D I A B C D K G M K E P F (Hình a) (Hình b) (Hình c) Q I

Bài toán 1: (Hình a)

Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.

Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR

Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)

\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)

Dễ thấy NS là đường trung bình của  \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)

Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)

Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ

=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).

Bài toán 2: (Hình b)

Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)

=> MC² = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 90⁰ , trung tuyến HM => HM = MC

Do đó MH² = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI

=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).

Bài toán 3: (Hình c)

a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.

Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC

Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD

Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)

=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=45⁰) => B,A,F thẳng hàng

=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM

Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E

=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)

=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).

b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE

Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).

a.vì \(\Delta ABC\)cân tại A mà AI là đường phân phân giác của\(\widehat{A}\)=>AI đồng thời là đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC

=>\(AI\perp BC\)

b.xét tam giác ABC có

AI,CM là hai đường trung tuyến của tam giác ABC(gt)(cmt)

mà AI cắt CM tại G=>G là trọng tâm của tam giác ABC

=>BG là đường trung tuyến của tam giác ABC

c.ta có IB=IC=BC/2=18/2=9(cm)(AI là đương trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC=>I là trung điểm của tam bc)

xét tam giácACI vuông tại I có

AC^2=AI^2=IC^2(ĐL py-ta-go)

hay 15^2=9^2+AI^2

=>AI^2=225-81=144

=>AI=12(cm)

tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác ABC ;AI là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC

=>IG=2/3AI=2/3.12=89(cm)

tự kẻ hình nha

a) xét tam giác BMD và tam giác CMA có

 AM=MD(gt)

BM=CM(gt)

AMC=BMD( đối đỉnh)

=> tam giác BMD= tam giác CMA(cgc)

=> BDM=MAC( hai góc tương ứng)

mà BDM so le trong với MAC=> AC//BD, BA vuông góc với AC=> BA vuông góc với BD=> ABD=90 độ

b) từ tam giác BMD= tam giác CMA=> BD=AC( hai cạnh tương ứng)

xét tam giác ABC và tam giác BAD có

BD=AC(cmt)

AB chung

BAC=ABD(=90 độ)

=> tam giác ABC= tam giác BAD(cgc)

c) từ tam giác ABC= tam giác BAD => AD=BC( hai cạnh tương ứng)

mà AM=MD=> M là trung điểm của AD 

và M là trung điểm của BC=> AM=MD=BM=CM

=> 2AM=BM+CM

=> 2AM=BC

=> AM=1/2BC

a/ Xét tam giác BEM và tam giác CFM có:

Góc B=C(Tam giác ABC cân tại A)

Góc BEM=CFM(Tam giác ABC cân tại A)

BM=MC(Trung tuyến AM)

=> Tam giác BEM=tam giác CFM(ch-gn)

b/Gọi giao điểm của EF và AM là O.

Vì AM là trung tuyến của tam giác cân nên AM cũng là đường cao của tam giác cân ABC.

=> Góc AMB=AMC=90 độ.

Mà Góc EMB=FMC(góc tương ứng của tam giác EMB=tam giác FMC)

=> Góc EMO=FMO.

Xét tam giác EMO và tam giác FMO có:

EM=MF(cạnh tương ứng trong tam giác EMB= tam giác FMC)

Góc EMO=FMO(cmt)

MO chung

=> Tam giác EMO=tam giác FMO(c-g-c)

=> Góc EOM=FOM(góc tương ứng)=180 độ/2=90 độ 

     EO=OF(cạnh tương ứng)

=> AM là đường trung trực của EF.

c/ Vì AI=\(\frac{8}{3}\)cm nên AM có độ dài là: \(\frac{8}{3}:\frac{2}{3}=4\)cm(tính chất trọng tâm tam giác)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AMC, ta được:

AC²=AM²+MC²=4²+MC²=5²=25

=> MC=\(\sqrt{\left(5^2-4^2\right)}=3\)cm

Mà BM=MC(Trung tuyến AM)

=> BC=3+3=6cm

A B C M E F

Bạn vẽ hình đi mk làm cho