Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Ta có \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=p^2\)
Mà b+a>b-a ; p là số nguyên tố
=> \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\\b-a=1\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}b=\frac{p^2+1}{2}\\a=\frac{p^2-1}{2}\end{cases}}\)
Nhận xét :+Số chính phương chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Mà p là số nguyên tố
=> \(p^2\)chia 8 dư 1
=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮4\)=> \(a⋮4\)(1)
+Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> \(p^2\)chia 3 dư 1
=> \(\frac{p^2-1}{2}⋮3\)=> \(a⋮3\)(2)
Từ (1);(2)=> \(a⋮12\)
Ta có \(2\left(p+a+1\right)=2\left(p+\frac{p^2-1}{2}+1\right)=p^2+1+2p=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương(ĐPCM)
\(A=\left(1+b^2+a^2+a^2b^2\right).\left(1+c^2\right)\)
\(=1+a^2+b^2+c^2+a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2+a^2b^2c^2\)
\(=1+\left(a+b+c\right)^2-2.\left(ab+bc+ac\right)+\left(ab+bc+ac\right)^2-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)
Thay ab+bc+ac=1 vào A, ta có:
\(A=1+\left(a+b+c\right)^2-2+1-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)^2-2abc.\left(a+b+c\right)+a^2b^2c^2\)
\(=\left(a+b+c-abc\right)^2\)
Vì a,b,c thuộc Z
\(\Rightarrow\left(a+b+c-abc\right)^2\)là số chính phương
\(\hept{\begin{cases}\left(1+a^2\right)=\left(ab+bc+ca+a^2\right)=b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\\left(1+b^2\right)=\left(ab+bc+ca+b^2\right)=a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\\\left(1+c^2\right)=\left(ab+bc+ca+c^2\right)=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A=\text{[}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\text{]}^2\Rightarrow\text{đ}pcm\)
a ) Với p = 3 , p là số nguyên tố và \(p^2+8=3^2+8=17\)cũng là số nguyên tố => p = 3 thỏa mãn đề bài
Xét với p > 3 , ta biểu diễn :
\(p^2+8=\left(p^2-1\right)+9=\left(p-1\right)\left(p+1\right)+9\)
Xét ba số nguyên liên tiếp : p - 1 , p , p + 1 ắt sẽ có một số chia hết cho 3.
Vì p là số nguyên tố , p > 3 nên p không chia hết cho 3. Vậy một trong hai số p - 1 , p + 1 chia hết cho 3. Suy ra tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3. Lại có 9 chia hết cho 3
\(\Rightarrow p^2+8\)chia hết cho 3. (vô lí vì \(p^2+8\)là số nguyên tố lớn hơn 3)
Vậy p = 3 \(\Rightarrow p^2+2=3^2+2=11\)là số nguyên tố (đpcm)
b) Với p = 3 thì \(8p^2+1\)là số nguyên tố.
Với p là số nguyên tố, p > 3 :
Ta có : \(8p^2+1=8\left(p^2-1\right)+9=8\left(p-1\right)\left(p+1\right)+9\)
Xét ba số nguyên liên tiếp : p - 1 , p , p + 1 , ắt sẽ tìm được một số chia hết cho 3
Vì p là số nguyên tố, p > 3 , nên p không chia hết cho 3. Vậy một trong hai số p - 1 , p + 1 chia hết cho 3
Suy ra tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 . Lại có 9 chia hết cho 3
=> 8p2 + 1 chia hết cho 3 (vô lí vì 8p2 + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3)
Vậy p = 3 . Suy ra 2p + 1 = 7 là số nguyên tố. (đpcm)
a) - Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.
*) Xét p=3k+1 => \(p^2+8=\left(3k+1\right)^2+8=9k^2+6k+9⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k+2 => \(p^2+8=\left(3k+2\right)^2+8=9k^2+12k+12⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k => k=1 do p là số nguyên tố => \(p^2+8=9+8=17\) (t/m)
Ta có: \(p^2+2=11\). Mà 11 là số nguyên tố => điều phải chứng minh.
b) (Làm tương tự bài trên)
- Do p là số nguyên tố => p là số tự nhiên.
*) Xét p=3k+1 => \(8p^2+1=8\left(3k+1\right)^2+1=8\left(9k^2+6k+1\right)+1=3k.8\left(3k+2\right)+\left(8+1\right)⋮3\)(hợp số)
*) Xét p=3k+2 => \(8p^2+1=8\left(3k+2\right)^2+1=8\left(9k^2+12k+4\right)+1=3k.8\left(3k+4\right)+\left(32+1\right)⋮3\) (hợp số)
*) Xét p=3k => k=1 Do p là số nguyên tố => \(8p^2+1=8.9+1=73\)(t/m)
Ta có : \(2p+1=7\). Mà 7 là số nguyên tố => Điều phải chứng minh.
Đặt tổng của 19 số nguyên dương liên tiếp là \(a^2\)
\(\Rightarrow19k+171=a^2\)
\(\Rightarrow19\left(k+9\right)=a^2\)
Vì k là số nguyên dương và k nhỏ nhất nên k+9 là số nguyên dương và k+9 nhỏ nhất
\(\Rightarrow k+9=19\Rightarrow k=10\)
Vậy k=10
Ta có giả thiết:
Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn
a + b + 1 là **một ước nguyên tố** của
2(a² + b²) − 1.
Đặt
p = a + b + 1 (p là số nguyên tố)
Khi đó tồn tại số nguyên **k** sao cho:
2(a² + b²) − 1 = p · **k**
⇔ 2(a² + b²) = p · **k** + 1
Xét modulo p:
Vì p = a + b + 1 ⇒ a + b ≡ −1 (mod p)
Ta có:
a² + b² = (a + b)² − 2ab
≡ (−1)² − 2ab
≡ 1 − 2ab (mod p)
Nhân hai vế với 2:
2(a² + b²) ≡ 2 − 4ab (mod p)
Mặt khác:
2(a² + b²) ≡ 1 (mod p)
Suy ra:
2 − 4ab ≡ 1 (mod p)
⇔ 4ab ≡ 1 (mod p)
Vì p là số nguyên tố và p ≠ 2 (do a, b ≥ 1 ⇒ p ≥ 3) nên 4 khả nghịch modulo p.
Suy ra tồn tại số nguyên t sao cho:
ab ≡ t² (mod p)
Mặt khác:
0 < ab < (a + b + 1)² = p²
Do đó:
ab = t²
Suy ra **ab là một số chính phương**.
⟹ Điều phải chứng minh.
Bài toán:
Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn a + b + 1 là một ước nguyên tố của 2(a^2 + b^2) − 1. Chứng minh rằng tích ab là một số chính phương.
Chứng minh:
Đặt p = a + b + 1, khi đó p là số nguyên tố.
Theo giả thiết, tồn tại số nguyên k sao cho
2(a^2 + b^2) − 1 = p.k
hay
2(a^2 + b^2) ≡ 1 (mod p).
Vì p = a + b + 1 nên
a + b ≡ −1 (mod p).
Ta có
a^2 + b^2 = (a + b)^2 − 2ab.
Lấy modulo p:
a^2 + b^2 ≡ (−1)^2 − 2ab ≡ 1 − 2ab (mod p).
Nhân hai vế với 2:
2(a^2 + b^2) ≡ 2 − 4ab (mod p).
So sánh với 2(a^2 + b^2) ≡ 1 (mod p) ta được:
2 − 4ab ≡ 1 (mod p)
suy ra
4ab ≡ 1 (mod p).
Vì p ≥ 3 nên 4 khả nghịch modulo p, do đó tồn tại số nguyên t sao cho
ab ≡ t^2 (mod p).
Mặt khác, ta có
0 < ab < (a + b + 1)^2 = p^2.
Suy ra ab = t^2.
Vậy tích ab là một số chính phương.
Điều phải chứng minh.
lớp học sinh giỏi Hạ Long tỉnh Quảng Ninh
Ta có $2(a^2+b^2)-1=2(a+b)^2-4ab-1$
Xét $2(a^2+b^2)-1-2(a+b-1)(a+b+1)$
$=2(a+b)^2-4ab-1-\left(2(a+b)^2-2(a+b)-2\right)$
$=-4ab+2(a+b)+1$
=> $2(a^2+b^2)-1\equiv -4ab+2(a+b)+1\pmod{a+b+1}$
Mà $a+b\equiv -1\pmod{a+b+1}$
$\Rightarrow -4ab+2(a+b)+1\equiv -4ab-1\pmod{a+b+1}$
Do $a+b+1\mid 2(a^2+b^2)-1$
$\Rightarrow a+b+1\mid 4ab+1$
Ta có $4ab+1<4ab+4a+4b+1=4(a+1)(b+1)$
Vì $a+b+1$ là số nguyên tố
$\Rightarrow a+b+1\mid (2a-2b)^2$
$\Rightarrow a+b+1\mid (2a-2b)$
$\Rightarrow a=b$
=> $ab=a^2$
=> $ab$ là số chính phương (đpcm)