Bài 1 : 

\(\frac{a}{b}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}+\)\(\frac{1}{10}\)

     \(=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)\)

      \(=\frac{13}{30}+\frac{13}{36}+\frac{13}{40}+\frac{13}{42}\)

      \(=\frac{13.\left(84+70+63+60\right)}{2520}\)

       \(=\frac{13.277}{2520}\)

Phân số \(\frac{13.277}{2520}\)tối giản nên \(a=13m\left(m\in Nsao\right)\)

Vậy a chia hết cho 13

Bài 2 :

Ta có :  \(\frac{a}{b}+\frac{a'}{b'}=n\)trong đó a và b nguyên tố cùng nhau : \(a'\)và \(b'\)nguyên tố cùng nhau , \(a\in N\)

Suy ra :\(\frac{ab'+a'b}{bb'}=n\Leftrightarrow ab'+a'b=nbb'\)

Từ (1)  ta có \(\left(ab'+a'b\right)⋮b\)mà \(a'b⋮b\)nên \(ab'⋮b\)nhưng a và b nguyên tố cùng nhau

Suy ra ;\(b'⋮b\left(2\right)\)

Tương tự ta cũng có \(b⋮b\left(3\right)\)

Từ (2 ) và (3 ) suy ra \(b=b'\)

Chúc bạn học tốt ( -_- )

Bài 2a:

Giải:

Gọi ước chung lớn nhất của n - 1 và n - 2 là d khi đó:

(n -1) ⋮ d và (n - 2) ⋮ d

{n -1 - n + 2] ⋮ d

[(n -n) + (2 -1)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

Ước chung lớn nhất của (n - 1) và (n - 2) là 1

Hay phân số đã cho là tối giản (ĐPCM)

Bài 2b:

Giải:

Gọi ước chung lớn nhất của (2n + 1) và n là d khi đó:

(2n + 1) ⋮ d và n ⋮ d

(2n + 1) ⋮ d và 2n ⋮ d

[2n - 2n - 1] ⋮ d

[0 - 1] ⋮ d

1 ⋮ d

Ước chung lớn nhất của (2n + 1) và n là 1

Hay phân số đã cho là phân số tối giản (ĐPCM)

\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{99^2}\)

\(\Rightarrow M< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}\)

\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)

\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{99}< 1\)

Dễ thấy M > 0 nên 0 < M < 1

Vậy M không là số tự nhiên.

\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\) (50 số hạng \(\frac{1}{100}\))

\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}.50=\frac{1}{2}\)

Vậy \(S>\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Câu 1:

Gọi ƯCLN (n; n + 1) = d khi đó:

n ⋮ d và (n + 1) ⋮ d

(n - n +1) ⋮ d

(0 - 1) ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1 hay phân số: \(\frac{n}{n+1}\) là phân số tối giản.

Câu 2: (a; b) = 1 và: \(\frac{a+b}{2b}=\frac{2a}{b}\)

\(\frac{a+b}{2b}=\frac{2a}{b}\)

\(\frac{a+b}{2}\) = \(\) 2a

a + b = 4a

b = 4a - a

b = 3a

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac13\)

(1; 3) = 1 Vậy \(\frac{a}{b}=\frac13\)

Kết luận phân số thỏa mãn đề bài là: \(\frac13\)

a) ta có:

\(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản thì:

\(\left(n+1;2n+3\right)=d\)

Điều Kiện;d thuộc N, d>0

=>\(\hept{\begin{cases}2n+3:d\\n+1:d\end{cases}}=>\hept{\begin{cases}2n+3:d\\2n+2:d\end{cases}}\)

=>2n+3-(2n+2):d

2n+3-2n-2:d

hay 1:d

=>d=1

Vỵ d=1 thì.....

Bài 2 :

Để A = (n+2) : (n-5) là số nguyên thì n+2 phải chia hết cho n-5

Mà n-5 chia hết cho n-5

=> (n+2) - (n-5) chia hết cho n-5

=> (n-n) + (2+5) chia hết cho n-5

=> 7 chia hết cho n-5

=> n-5 thuộc Ư(5) = { 1 : -1 ; 7 ; -7 }

Ta có bảng giá trị

Vậy với n thuộc { -2 ; 4 ; 6 ; 12 } thì A là số nguyên

 

B1. Ta có: A= \(\frac{4n-1}{2n+3}+\frac{n}{2n+3}=\frac{4n-1+n}{2n+3}=\frac{5n-1}{2n+3}\)

=> 2A = \(\frac{10n-2}{2n+3}=\frac{5\left(2n+3\right)-17}{2n+3}=5-\frac{17}{2n+3}\)

Để A là số nguyên <=> 2A là số nguyên <=> \(\frac{17}{2n+3}\in Z\)

<=> 17 \(⋮\)2n + 3 <=> 2n + 3 \(\in\)Ư(17) = {1; -1; 17; -17}

Lập bảng:

Vậy ....

Bài 2:

Gọi d là ƯCLN (7n-1; 6n-1) (d thuộc N*)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}7n-1⋮d\\6n-1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6\left(7n-1\right)⋮d\\7\left(6n-1\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}42n-6⋮d\\42n-7⋮d\end{cases}}}\)

=> 42n-7-42n+6 chia hết cho d

=> -1 chia hết cho d

mà d thuộc N* => d=1

=> ƯCLN (7n-1; 6n-1)=1

=> đpcm

a) Để \(A=\frac{3x+2}{x+1}\) là số nguyên thì:

\(3x+2⋮x+1\)

Ta có: 3x + 2 = 3(x + 1) - 1

mà 3x + 2 \(⋮\)x+1 => 3(x + 1) - 1\(⋮\)x + 1

có x + 1 \(⋮\)x+1 => -1 \(⋮\)x+1  hay x + 1 \(\in\)Ư(-1) = {1;-1}

Ta có bảng sau:

Vậy để \(A=\frac{3x+2}{x+1}\) là số nguyên thì x = 0 hoặc x = 2

b) Gọi ƯCLN(3n + 2, 2n + 1) = d (d \(\in\)N)

\(=>\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}}\)

\(=>\hept{\begin{cases}2\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(2n+1\right)⋮d\end{cases}}\)

\(=>\hept{\begin{cases}6n+4⋮d\\6n+3⋮d\end{cases}}\)

\(=>\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)

\(=>1⋮d\) \(=>d=1\)

Vậy phân số \(B=\frac{3n+2}{2n+1}\) là phân số tối giản