Trải 6 mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như hình bs.18a. Để đi đường ngắn nhất từ M đến M' (M' chính là trung điểm của A'D' trên mặt khai triển) thì con kiến cần bò theo đoạn thẳng MM'. Trên chiếc hộp, đường đi ngắn nhất của con kiến là đường MNPQKZM' như ở hình bs.18b (dễ thấy N, P, Q, K, Z lần lượt là trung điểm của DD', CD, BC, BB', A'B').

Trải 6 mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Để đi đường ngắn nhất từ M đến M' ( M' chính là trung điểm của A'D' trên mặt khai triển ) thì con kiến cần bò theo đoạn thẳng MM' . Trên chiếc hộp , đường đi ngắn nhất của con kiến là đường MNPQKZM ( dễ thấy N , P ,Q , K , Z lần lượt là trung điểm của DD' , CD , BC , BB' , A'B' )

Vì con kiến phải bò theo mặt của hình hộp từ Q đến P tức phải bò trên "một mặt phẳng". Ta vẽ hình khai triển của hình hộp chữ nhật và trải phẳng như sau:

Khi đó, P sẽ có hai vị trí là P1 và P2. Và quãng đường ngắn nhất sẽ là một trong hai đoạn thẳng QP1 hoặc QP2.

Vì con kiến phải bò theo mặt của hình hộp từ Q đến P tức phải bò trên "một mặt phẳng". Ta vẽ hình khai triển của hình hộp chữ nhật và trải phẳng như sau:

Khi đó, P sẽ có hai vị trí là P₁ và P₂. Và quãng đường ngắn nhất sẽ là một trong hai đoạn thẳng QP₁ hoặc QP₂.

Cô giáo tớ bảo thế là không được !!!!!

Phân tích bài toán

• Cho hình vuông ABCD có cạnh a, tâm O.
• Rùa bò từ O → M (trên cạnh AB) → N (trên cạnh DC) → B.
• Yêu cầu: MN \parallel BC và tổng độ dài đường gấp khúc OMNB là nhỏ nhất.

✨ Ý tưởng giải

Ta dùng phương pháp phản xạ để biến bài toán đường gấp khúc thành bài toán đường thẳng:

1. Phản xạ điểm B qua cạnh DC → gọi là điểm B'.
2. Khi đó, đường đi ngắn nhất từ O đến B qua M và N (với MN \parallel BC) sẽ tương đương với đường thẳng từ O đến B', cắt cạnh AB tại M, và cắt cạnh DC tại N.

📐 Tính toán

• Gọi hệ trục tọa độ sao cho:
• • A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a)
  • Tâm O có tọa độ \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)
  • Phản xạ điểm B(a, 0) qua cạnh DC (đường y = a) → ta được B'(a, 2a)
• Đường thẳng OB' có phương trình:
• • Tính vector chỉ phương: \vec{OB'} = (a - \frac{a}{2}, 2a - \frac{a}{2}) = \left(\frac{a}{2}, \frac{3a}{2}\right)
  • Hệ số góc k = \frac{3a/2}{a/2} = 3
  • Phương trình đường thẳng: y - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2})
• Giao điểm với cạnh AB (tức y = 0) → tìm x_M:
• 0 - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2}) \Rightarrow x = \frac{5a}{6}
• → M\left(\frac{5a}{6}, 0\right)
• Giao điểm với cạnh DC (tức y = a) → tìm x_N:

a - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2}) \Rightarrow x = \frac{2a}{3}

• → N\left(\frac{2a}{3}, a\right)

📏 Tính độ dài đường đi

Tổng độ dài đường gấp khúc OMNB = OM + MN + NB

• OM = \sqrt{\left(\frac{5a}{6} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{13}}{6}
• MN = |x_M - x_N| = \left|\frac{5a}{6} - \frac{2a}{3}\right| = \frac{a}{6}
• NB = \sqrt{\left(a - \frac{2a}{3}\right)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + a^2} = \frac{a\sqrt{10}}{3}

✅ Kết luận

• Vị trí M\left(\frac{5a}{6}, 0\right), N\left(\frac{2a}{3}, a\right)
• Độ dài đường đi ngắn nhất:

OMNB = \frac{a\sqrt{13}}{6} + \frac{a}{6} + \frac{a\sqrt{10}}{3} = \frac{a}{6}(\sqrt{13} + 1 + 2\sqrt{10})