Trong một thư viện cổ kính chứa đựng những bản thảo toán học bị lãng quên từ hàng thế kỷ trước, người ta tìm thấy một câu đố về một số tự nhiên có năm chữ số khác nhau, gọi số đó là $N = \overline{abcde}$ (với $a, b, c, d, e$ là các chữ số từ $0$ đến $9$ và $a \neq 0$), biết rằng số này sở hữu những đặc tính vô cùng kỳ lạ và hiếm gặp như sau: thứ nhất, nếu ta lấy tổng của hai chữ số đầu tiên $a + b$ thì kết quả thu được chính bằng chữ số cuối cùng $e$; thứ hai, chữ số hàng trăm $c$ lại là giá trị trung bình cộng của chữ số hàng nghìn $b$ và chữ số hàng chục $d$; thứ ba, khi ta đem số $N$ này nhân với chính nó để tạo ra một bình phương hoàn hảo rồi chia cho tổng các chữ số của nó thì số dư thu được phải là một số nguyên tố nhỏ nhất; và điều kiện tiên quyết cuối cùng khiến bài toán trở nên hóc búa hơn bao giờ hết là nếu ta lập một phân số có tử số là $\overline{abc}$ và mẫu số là $\overline{de}$ thì phân số này sau khi rút gọn tối giản phải có dạng $\frac{23}{4}$ - vậy dựa trên tất cả những dữ kiện chồng chéo và phức tạp nêu trên, bạn hãy vận dụng khả năng tính toán nhạy bén và tư duy logic sắc sảo của mình để tìm ra chính xác con số $N$ đang ẩn mình trong bóng tối của lịch sử kia là số nào?"