1, Đổi chỗ 3 viên ở 3 đỉnh tam giác: viên dưới cùng lên đỉnh trên cùng, 2 viên ngoài cùng ở 2 bên đảo xuốn đáy

2, 8-6+2=4; 12-5+8=15; 13-10+15=18. x=15

3,

*) \(5^3+5=130;3^3+3=30;2^3+2=10;1^3+1=2\)

*) 2+3=8 hay 2.(2+3)-2=8

4+5=32 hay 4.(4+5)-4=32

5+8=60 hay 5.(5+8)-5=60

6+7=72 hay 6.(6+7)-6=72

7+8= 7.(7+8)-7=98

HACK

Bước 1: Phân tích \(2^{2025} + 2\)

Ta có:

\(2^{2025} + 2 = 2 \left(\right. 2^{2024} + 1 \left.\right)\)

Vậy phương trình trở thành:

\(\left(\right. 2 x + y \left.\right) \left(\right. 10 x + 3 y \left.\right) = 2 \left(\right. 2^{2024} + 1 \left.\right)\)

Bước 2: Quan sát tính chẵn/lẻ

• \(2 x + y\) và \(10 x + 3 y\) là các số tự nhiên.
• Hãy xem chúng có thể chia 2 như thế nào.

Gọi \(a = 2 x + y\), \(b = 10 x + 3 y\). Ta có:

\(a \cdot b = 2 \left(\right. 2^{2024} + 1 \left.\right)\)

• Nhận xét: \(2^{2024} + 1\) là số lẻ.
• Vậy \(2 \left(\right. 2^{2024} + 1 \left.\right)\) là số chẵn nhưng không chia hết cho 4.
• Vì \(a \cdot b = 2 \cdot \left(\right. \text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{l}ẻ \left.\right)\), nghĩa là một trong hai số \(a\) hoặc \(b\) là chẵn, số còn lại là lẻ.

Bước 3: Thử phân tích

• Nếu \(a = 2\) → \(b = 2^{2024} + 1\)
  → Từ \(a = 2 = 2 x + y\) → \(y = 2 - 2 x\)
  → \(y \geq 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 0 , 1\)
• 1. \(x = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = 2\)
     → \(b = 10 x + 3 y = 0 + 3 * 2 = 6 \neq 2^{2024} + 1\) → Không được.
  2. \(x = 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = 0\)
     → \(b = 10 * 1 + 3 * 0 = 10 \neq 2^{2024} + 1\) → Không được.
• Nếu \(b = 2\) → \(a = 2^{2024} + 1\)
  → \(10 x + 3 y = 2\) → Không có nghiệm tự nhiên vì 10x ≥0, 3y ≥0 mà tổng bằng 2.

Bước 4: Kết luận

• Không thể phân tích \(2^{2025} + 2\) thành tích của hai số tự nhiên nhỏ như \(2 x + y\) và \(10 x + 3 y\).
• Vì \(2^{2024} + 1\) là số lẻ rất lớn, không thể biểu diễn dưới dạng \(2 x + y\) với \(x , y \in \mathbb{N}\).

✅ Vậy không tồn tại cặp số tự nhiên \(\left(\right. x , y \left.\right)\) thỏa mãn phương trình.

i³ = i² .i = -i; i⁴ = i² .i² = (-1)(-1) = 1; i⁵ = i⁴ .i = i

Nếu n = 4q + r, 0 ≤ r < 4 thì

1) iⁿ = i^r = i nếu r = 1

2) iⁿ = i^r = -1 nếu r = 2

3) iⁿ = i^r = -i nếu r = 3

4) iⁿ = i^r = 1 nếu r = 4

a) = 1 = ; = .

Mặt khác trong hai lũy thừa cungc cơ số lớn hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn là lũy thừa lớn hơn. Do đó theo thứ tự tăng dần ta được:

< <

b) = 1 = ; = ; = = 2 = .

Do đó < < .

a) Ta có cơ số  \(a=0,3<1\) và \(3,15>\pi>\frac{2}{3}>0,5\)

Nên thứ tự tăng dần là :

\(0,3^{3,15};0,3^{\pi};0,3^{\frac{2}{3}};0,3^{0,5}\)

b) Vì số mũ \(\pi>0\) nên hàm số lũy thừa \(y=x^{\pi}\) luôn đồng biến. Mặt khác :

\(\frac{1}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}<1,8<\pi\)

Nên thứ tự tăng dần là :

\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\pi};\sqrt{2^{\pi}};1,8^{\pi};\pi^{\pi}\)

x=4 hoặc x=3

Đặt \(z=a+bi\Rightarrow\overline{z}=a-bi,\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\) Hệ thức đã cho trở thàng \(z^{2002}=\overline{z}\)

\(\left|z\right|^{2002}=\left|z^{2002}\right|=\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|\Rightarrow\left(\left|z\right|^{2001}-1\right)=0\)

Do đó :

\(\left|z\right|=0\) tức là (a,b) =(0,0) hoặc \(\left|z\right|=1\). Trong trường hợp \(\left|z\right|=1\), ta có :

\(z^{2002}=\overline{z}\Rightarrow z^{2002}=z.\overline{z}=\left|z\right|^2=1\)

Phương trình : \(z^{2002}=1\) có 2003 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\) có 2004 cặp thứ tự theo yêu cầu.

a

=>(n+2)=5 :.n+2

=>5:. n+2

=>n+2 E (1,5)

th1

N+2=1

th2 tựlamf

x không có giá trị đúng bởi vì trong bài ghi n ko phải x 

Ta có :

\(2\log_45=\log_25\)

\(\log_{\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{3}}=\log_2\frac{4}{\sqrt{3}}=\log_2\frac{16}{3}\)

\(\log_9\frac{1}{4}=\log_{3^2}\left(\frac{1}{2}\right)^2=\log_3\frac{1}{2}\)

Mà :

\(\begin{cases}\frac{1}{2}< \frac{\pi}{4}\Rightarrow\log_3\frac{1}{2}< \log_3\frac{\pi}{4}\\\log_3\frac{\pi}{4}< 0< \log_25\\5< \frac{16}{3}\Rightarrow\log_25< \log_2\frac{16}{3}\end{cases}\)  \(\Rightarrow\log_3\frac{1}{2}< \log_3\frac{\pi}{4}< \log_25< \log_2\frac{16}{3}\)

Hay : 

\(\log_9\frac{1}{4}< \log_3\frac{\pi}{4}< 2\log_45< \log_{\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{3}}\)

Vậy thứ tự giảm dần là :

\(\log_{\sqrt{2}}\frac{4}{\sqrt{3}};2\log_45;\log_3\frac{\pi}{4};\log_9\frac{1}{4}\)

Ta có :

\(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\)

\(\left(2^3\right)^{\log_{64}\frac{5}{4}}=2^{3\log_{2^6}\frac{5}{4}}=2^{\frac{1}{2}\log_2\frac{5}{4}}=2^{\log_2\sqrt{\frac{5}{4}}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{2}}\)

\(2^{3^{\log_92}}=2^{3^{\frac{1}{2}\log_32}}=2^{3^{\log_3\sqrt{2}}}=2^{\sqrt{2}}\)

Mà : \(\sqrt{2}>\frac{\pi}{6}>\frac{1}{2}\Rightarrow2^{\sqrt{2}}>2^{\frac{\pi}{6}}>2^{\frac{1}{2}}\)

                            \(\Leftrightarrow2^{3^{\log_92}}>2^{\frac{\pi}{6}}>\sqrt{2}\)  (1)

Mặt khác : \(2>\frac{5}{4}\Rightarrow2^{\frac{1}{2}}>\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{2}}\) hay \(\sqrt{2}>\left(2^3\right)^{\log_{64}\frac{5}{4}}\)  (2)

Từ (1) và (2) : \(2^{3^{\log_92}}>2^{\frac{\pi}{6}}>\sqrt{2}>\left(2^3\right)^{\log_{64}\frac{5}{4}}\)

Vậy thứ tự giảm dần là :

\(2^{3^{\log_92}};2^{\frac{\pi}{6}};\sqrt{2};\left(2^3\right)^{\log_{64}\frac{5}{4}}\)