\(a.\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\left(đpcm\right)\)

\(b.\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1_{ }\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\)\(\left(đpcm\right)\)

\(c.\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{b}{a}+1=\frac{d}{c}+1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}\)hay \(\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{d}\left(đpcm\right)\)

\(d.\)Tương tự \(c\) nhé bn. Chúc bn học tốt!

Có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{a + b}{c + d}\)

\(= \left(\left(\right. \frac{a}{c} \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. \frac{b}{d} \left.\right)\right)^{2} = \left(\left(\right. \frac{a + b}{c + d} \left.\right)\right)^{2}\)

\(= \frac{a^{2}}{c^{2}} = \frac{b^{2}}{d^{2}} = \left(\left(\right. \frac{a + b}{c + d} \left.\right)\right)^{2}\)

Có \(\frac{a^{2}}{c^{2}} = \frac{b^{2}}{d^{2}}\)

Theo dãy tính chất tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a^{2}}{c^{2}} = \frac{b^{2}}{d^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2} + d^{2}}\)

Từ (1) và (2) = \(\left(\left(\right. \frac{a + b}{c + d} \left.\right)\right)^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2} + d^{2}}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

=>a=bk; c=dk

\(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\frac{bk+b}{dk+d}\right)^2=\left(\frac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2\)

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)

Do đó: \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)

Cách 1 :

Từ a/b = c/d => a/c = b/d ( tính chất tỉ lệ thức )

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a/c = b/d = a+b/a-b = a-b/c-d => a+b/a-b = c+d/c-d ( tính chất tỉ lệ thức )

Vậy a+b/a-b = c+d/c-d

Cách 2:

Đặt : a/b = c/d = k 

a/b = k => a= bk

c/d = k => c=dk

a+b/a-b = bk+b/ bk-b = b(k+1)/b(k-1) = k+1/k-1. (1)

c+d/c-d = dk+d/dk-d = d(k+1)/d(k-1) + k+1/k-1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra a+b/a-b = c+d/c-d.

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=t\) \(\Rightarrow a=bt\);\(c=dt\)

rồi bạn thế vào điều phải chứng minh là ra

Bn lm chi tiết từng bài giúp mk đc k

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)cd=\left(c^2+d^2\right)ab\)

\(\Leftrightarrow a^2cd-c^2ab-d^2ab+b^2cd=0\)

\(\Leftrightarrow ac\left(ad-bc\right)-bd\left(ad-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ac-bd\right)\left(ad-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}ac=bd\\ad=bc\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\end{cases}\)

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{d}\) = \(\frac{a+b}{c+d}\)

(\(\frac{a}{c}\))\(^2\) = (\(\frac{b}{d}\))\(^2\) = (\(\frac{a+b}{c+d}\))\(^2\)

\(\frac{a^2}{c^2}\) = \(\frac{b^2}{d^2}\) = \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\) = (\(\frac{a+b}{c+d}\))\(^2\) (đpcm)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

=>a=bk; c=dk

\(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\frac{bk+b}{dk+d}\right)^2=\left(\frac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2\)

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)

Do đó: \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)

Bài 2: a)

Ta có: 2x=3y (=) \(\frac{x}{3}\)=\(\frac{y}{2}\) (=) \(\frac{x}{21}\)=\(\frac{y}{14}\)

5y=7z (=) \(\frac{z}{5}\)=\(\frac{y}{7}\) (=) \(\frac{z}{10}\)=\(\frac{y}{14}\)

Suy ra \(\frac{x}{21}\)=\(\frac{y}{14}\)=\(\frac{z}{10}\)

ta có \(\frac{x}{21}\)=\(\frac{3x}{63}\)

\(\frac{y}{14}\)= \(\frac{7y}{98}\)

\(\frac{z}{10}\)=\(\frac{5z}{50}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{3x}{63}\)=\(\frac{7y}{98}\)=\(\frac{5z}{50}\)=\(\frac{3x-7y+5z}{63-98+50}\)=\(\frac{30}{15}\)=2

=) \(\frac{3x}{63}\)=2 (=) 3x=126 (=) x=42

\(\frac{7y}{98}\)=2 (=) 7y=196 (=) y=28

\(\frac{5z}{50}\)=2 (=) 5z=100 (=) z=20

Vậy x=42 ; y=28 ; z=20

Có thể là bạn viết nhầm đề bài 2 đấy (5z thành 5y)

      \(x^2+4y^2+9\ge2xy+3y+6y\)

\(\Leftrightarrow x^2+4y^2+9-2xy-3x-6y\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+3y^2-6y-3x-9\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-3x+3y-3y-6y+3y^2+9\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-3\left(x-y\right)-9y+3y^2+9\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-3\left(x-y\right)+3\left(y^2-3y+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{4}.3+9\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-3\left(x-y\right)+3\left(y-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-3\left(x-y\right)+\frac{9}{4}+3\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

Ta có:

\(\left(x-y-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)     \(\forall x,y\)

\(3\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)           \(\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-y-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(y-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)      \(\forall x,y\)

Dấu = khi   i\(y=\frac{3}{2}\)

                  \(x=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)

b)Sửa đề: Chứng minh \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Ta chứng minh bài toán phụ: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-ab\right)-\left(ab-b^2\right)\ge0\) (lớp 7 chưa học hằng đẳng thức nên mình mới làm thế này thôi)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{BĐT đúng}\right)\Rightarrow\text{Q.E.D }\)   (chỗ khúc này sửa a.b thành x,y nhé,đánh nhầm,lười đánh lại)

Áp dụng vào,ta có: \(\text{Vế trái}=\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\ge2a^2b^2+2b^2c^2\)

\(=\left(\sqrt{2a^2b^2}\right)^2+\left(\sqrt{2b^2c^2}\right)^2\ge2\sqrt{2a^2b^2.2b^2c^2}=4abcd\) (đpcm)