✅ Kết luận:

Hàm A: \(y = - x^{2} + 2 x + 3\)

• Đồng biến: \(\left(\right. - \infty , 1 \left.\right)\)
• Nghịch biến: \(\left(\right. 1 , + \infty \left.\right)\)

Hàm B: \(y = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 2\)

• Đồng biến: \(\left(\right. - \infty , - 5 \left.\right) \cup \left(\right. - 1 , + \infty \left.\right)\)
• Nghịch biến: \(\left(\right. - 5 , - 1 \left.\right)\)

a: \(y=-x^2+2x+3\)

=>\(y^{\prime}=-2x+2\)

Đặt y'<0

=>-2x+2<0

=>-2x<-2

=>x>1

=>Hàm số nghịch biến trên (1;+∞)

Đặt y'>0

=>-2x+2>0

=>-2x>-2

=>x<1

=>Hàm số đồng biến trên (-∞;1)

b: \(y=\frac13x^3+3x^2+5x+2\)

=>\(y^{\prime}=\frac13\cdot3x^2+3\cdot2x+5=x^2+6x+5=\left(x+1\right)\left(x+5\right)\)

Đặt y'>0

=>(x+1)(x+5)>0

=>\(\left[\begin{array}{l}x>-1\\ x<-5\end{array}\right.\)

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;+∞) và (-∞;-5)

Đặt y'<0

=>(x+1)(x+5)<0

=>-5<x<-1

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-5;-1)

2.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^4+2x^3+mx+2\)

\(f'\left(x\right)=4x^3+6x^2+m\)

\(y=\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{f^2\left(x\right)}\Rightarrow y'=\frac{f'\left(x\right).f\left(x\right)}{\sqrt{f^2\left(x\right)}}\)

Để hàm đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right).f\left(x\right)\ge0\\f\left(x\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\forall x>-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right)\ge0\\f\left(-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^3+6x^2+m\ge0\left(1\right)\\1-m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\forall x>-1\)

Xét (1) \(\Leftrightarrow m\ge g\left(x\right)=-4x^3-6x^2\Rightarrow m\ge\max\limits_{x>-1}g\left(x\right)\)

\(g'\left(x\right)=-12x^2-12x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Từ BBT ta thấy \(\max\limits_{x>-1}g\left(x\right)=g\left(0\right)=0\)

\(\Rightarrow m\ge0\)

Vậy \(0\le m\le1\)

Cho mình hỏi là chỗ f'(x).f(x)\(\ge0\) chỉ xảy ra trường hợp cả hai cái cùng dương thôi hả cậu?

Không có bảng biến thiên luôn, bạn tự kẻ bảng dựa vào phân tích vậy :D

- Với \(x^2-4x+3\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-4x+3+2x+3=x^2-2x+6\)

\(f'\left(x\right)=2x-2=0\Rightarrow x=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-\infty;1)\)

- Với \(x^2-4x+3\le0\Rightarrow1\le x\le3\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=-x^2+4x-3+2x-3=-x^2+6x\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=-2x+6=0\Rightarrow x=3\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)\ge0\) \(\forall x\in\left[1;3\right]\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(1;3\right)\)

Kết hợp lại ta có:

\(f\left(x\right)\) nghịch trên \(\left(-\infty;1\right)\); đồng biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)

\(x=1\) là điểm cực tiểu của hàm số

\(x=3\) là điểm dừng nhưng ko phải điểm cực trị

cảm ơn nhé

\(y=\dfrac{2x-1}{x+m}\Rightarrow y'=\dfrac{2m+1}{\left(x+m\right)^2}\)

Hàm nghịch biến trên miền xác định khi:

\(2m+1< 0\Rightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)

Đáy ABC vuông cân tại B thì ACB=BAC=45\(^0\)chứ bạn. 

Bạn có gõ nhầm đề không?