Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M N D K E O
a) Ta thấy: Tứ giác AMDN nội tiếp đường tròn: ^AND + ^AMD = 1800
Mà ^AMD + ^BMD = 1800 nên ^AND=^BMD hay ^CND=^BMD
Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) => ^ABD + ^ACD = 1800. Mà ^ACD+^NCD=1800
Nên ^ABD=^NCD hay ^MBD=^NCD
Xét \(\Delta\)MBD và \(\Delta\)NCD: ^BMD=^CND; BM=CN; ^MBD=^NCD => \(\Delta\)MBD=\(\Delta\)NCD (g.c.g)
=> BD=CD (2 cạnh tương ứng) => D là điểm chính giữa của cung BC
Mà cung BC cố định => D là 1 điểm cố định (đpcm).
b) Xét đường tròn (O) có dây cung BC ; \(\Delta\)ABC đều nội tiếp (O); D là điểm chính giữa cung BC
=> 3 điểm A;O;D thẳng hàng => ^ABD=^ACD=900 hay ^MBD=900
Do \(\Delta\)BDC cân đỉnh D => ^DBC= (1800 - ^CBD)/2 (1)
\(\Delta\)MBD=\(\Delta\)NCD (cmt) => ^BDM=^CDN => ^BDM+^MDC=^CDN+^MDC => ^BDC=^MDN (2)
Ta cũng có: MD=ND => \(\Delta\)MDN cân tại D => ^DMN= (1800 - ^MDN)/2 (3)
Từ (1);(2) và (3) => ^DBC=^DMN hay ^DBK=^DMK => Tứ giác BMKD nội tiếp đường tròn.
=> ^MBD+^MKD=1800. Mà ^MBD=900 => ^MKD=900 => DK vuông góc MN (đpcm).
c) Xét TH điểm M trùng với điểm B. Khi đó điểm N sẽ trùng với điểm C (Do BM=CN)
=> SAMN = SABC (*)
Xét TH điểm M khoog trùng điểm B
Qua điểm M kẻ 1 đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.
Vì \(\Delta\)ABC đều => \(\Delta\)MBE là tam giác đều => BM=EM.
Lại có: BM=CN => EM=CN
Xét \(\Delta\)MEK và \(\Delta\)NCK: ^EMK=^CNK; ^MEK=^NCK (So le trong); EM=CN
=> \(\Delta\)MEK=\(\Delta\)NCK (g.c.g) => SMEK = SNCK
=> SAMN = SAMKC + SNCK = SAMKC + SMEK = SAMEC.
Mà SAMEC < SABC => SAMN < SABC (**)
Từ (*) và (**) => SAMN \(\le\)SABC => Max SAMN = SABC
Dấu "=" xảy ra khi điểm M trùng với điểm B.
a: góc BPM+góc BRM=180 độ
=>BPMR nội tiếp
b: góc MPC=góc MQC=90 độ
=>MPQC nội tiếp
góc RPM+góc QPM
=góc RBM+góc 180 độ-góc QCM=180 độ
=>R,Q,P thẳng hàng
Diện tích của một tứ giác bất kỳ có thể được tính bằng công thức: S=12d1d2sin(θ)cap S equals 1 over 2 end-fraction d sub 1 d sub 2 sine open paren theta close paren𝑆=12𝑑1𝑑2sin(𝜃) trong đó d1,d2d sub 1 comma d sub 2𝑑1,𝑑2là độ dài hai đường chéo và θtheta𝜃là góc xen giữa chúng.
Áp dụng cho tứ giác ANOP: SANOP=12AO⋅NP⋅sin(∠AON,∠ANP,hoc góc khác)cap S sub cap A cap N cap O cap P end-sub equals 1 over 2 end-fraction bold cap A bold cap O center dot bold cap N bold cap P center dot sine open paren angle cap A cap O cap N comma angle cap A cap N cap P comma hoc góc khác close paren𝑆𝐴𝑁𝑂𝑃=12𝐀𝐎⋅𝐍𝐏⋅sin(∠𝐴𝑂𝑁,∠𝐴𝑁𝑃,hocgóckhác) Step 2: Áp dụng bất đẳng thức Giá trị lớn nhất của sin(θ)sine open paren theta close parensin(𝜃)là 1, khi θ=90∘theta equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent𝜃=90∘.
Do đó, ta luôn có bất đẳng thức: sin(θ)≤1sine open paren theta close paren is less than or equal to 1sin(𝜃)≤1 Thay vào công thức diện tích ở trên: SANOP=12AO⋅NP⋅sin(θ)≤12AO⋅NP⋅1cap S sub cap A cap N cap O cap P end-sub equals 1 over 2 end-fraction bold cap A bold cap O center dot bold cap N bold cap P center dot sine open paren theta close paren is less than or equal to 1 over 2 end-fraction bold cap A bold cap O center dot bold cap N bold cap P center dot 1𝑆𝐴𝑁𝑂𝑃=12𝐀𝐎⋅𝐍𝐏⋅sin(𝜃)≤12𝐀𝐎⋅𝐍𝐏⋅1 SANOP≤12AO⋅NPcap S sub cap A cap N cap O cap P end-sub is less than or equal to 1 over 2 end-fraction bold cap A bold cap O center dot bold cap N bold cap P𝑆𝐴𝑁𝑂𝑃≤12𝐀𝐎⋅𝐍𝐏 Answer: Bất đẳng thức SANOP≤12AO.NPbold cap S sub bold cap A bold cap N bold cap O bold cap P end-sub is less than or equal to 1 over 2 end-fraction bold cap A bold cap O point bold cap N bold cap P𝐒𝐀𝐍𝐎𝐏≤𝟏𝟐𝐀𝐎.𝐍𝐏đã được chứng minh dựa trên công thức tính diện tích tứ giác qua hai đường chéo và tính chất sin(θ)≤1sine open paren bold theta close paren is less than or equal to 1sin(𝛉)≤𝟏.