x,y,z là số thực hay số dương vậy?

Nếu x,y,z dương thì như sau:

Áp dụng bất đẳng thức phụ: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

Chứng minh: \(\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (Bunyakovsky cho 3 số)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+xz\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+xz\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

Ta có

\(\frac{1+x^2}{y+z}+\frac{1+y^2}{x+z}+\frac{1+z^2}{x+y}\ge\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}+\frac{2z}{x+y}\)

\(=\frac{x^2}{\frac{1}{2}\left(xy+xz\right)}+\frac{y^2}{\frac{1}{2}\left(xy+yz\right)}+\frac{z^2}{\frac{1}{2}\left(xz+yz\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xy+yz+xz}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy GTNN của biểu thức trên là 3 khi x=y=z=1

Còn x,y,z là số thức thì không biết 

Trước tiên ta chứng minh : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\); ở đó, a,b tùy ý. Thật vậy:

\(2\left(a^2+b^2\right)S\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Ta có: \(x\left(x-1\right)+\frac{1}{4}+y\left(y-1\right)+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{2}\text{[}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\text{]}^2\)\(=\frac{1}{2}\left(x+y-1\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(6-1\right)^2=\frac{25}{2}\Rightarrow x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)\ge\frac{25}{2}-\frac{1}{2}=12\)

Khi x=y=3 thì => đpcm

Hơi khác cách của mình nhưng đúng r.

Nếu m=n ta có đpcm

Xét m \(\ne\)n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x;y\inℤ;x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}m=x+y\\n=x-y\end{cases}\left(m,n>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow}x=\left|y\right|}\)

Do đó \(n^2-1⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)

Thay m=x+y; n=x-y ta có: (x+y)²=k(4xy+1)

<=> x²-2(2x-1)xy+y²-k=0 (*)

Phương trình (*) có 1 nghiệm là x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x₁. Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}\Rightarrow x;x_1\inℤ}\)

Nếu x₁>0 => (x;y) là cặp nghiệm thỏa mãn (*)

=> x₁>|y| => y²-k=xx₁ > |y|²=y² => k<0 => x₁+x₂=2(2k-1)<0 (mâu thuẫn)

Nếu x₁<0 thì xx₁=y²-k<0 => k>y² => k>0 => 4xy+1>0 => y>0 ta có:

k=x₁²-2(2k-1)x₁y+y²=x₁²+2(2k-1)|x₁|y+y²> 2(2k-1) |x₁|y >= 2(2k-1)>k (mâu thuẫn)

vậy x₁=0 khi đó k=y² và \(m^2-n^2+1=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên |m²-n²+1| là số chính phương

Câu 1: 

Đặt phương trình là (1)

ĐK: \(3x-16y-24\ge0\)

\(3x-16y-24=\sqrt{9x^2+16x+32}\Leftrightarrow\left(3x-16y-24\right)^2=9x^2+16x+32\)

\(\Leftrightarrow9\left(3x-16y-24\right)^2=9\left(9x^2+16x+32\right)\)\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2=81x^2+144x+288\)

Với x, y nguyên thì (3y+5) là ước của (-7) và chia cho 3 dư 2

=> (3y+5)=-1 hoặc (3y+5)=-7

+ TH1: \(\left(3y+5\right)=-1\Leftrightarrow y=-2\Rightarrow x=-1\)

+ TH2: \(\left(3y+5\right)=-7\Leftrightarrow y=-4\Rightarrow x=-7\)

Vậy các cặp nghiệm nguyên của (x;y) là: (-1;-2); (-7;-4)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2=\left(9x+8\right)^2+224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2-\left(9x+8\right)^2=224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72+9x-8\right)\left(9x-48y-72-9x-8\right)=224\)

\(\Leftrightarrow\left(18x-48y-64\right)\left(-48y-80\right)=224\)

\(\Leftrightarrow-32\left(9x-24y-32\right)\left(3y+5\right)=224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-24y-32\right)\left(3y+5\right)=-7\)

giả sử a là nghiệm chung của 2 phương trình

\(x^2+\text{ax}+bc=0\left(1\right)\) và \(x^2+bx+ca=0\left(2\right)\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a\alpha+bc=0\\a^2+b\alpha+ca=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\alpha\left(a-b\right)+c\left(b-a\right)=0\Rightarrow\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\Rightarrow\alpha=c\ne0\)

Thay \(\alpha=c\)vào (1) ta có: \(c^2+ac+bc=0\Rightarrow c\left(a+b+c\right)=0\Rightarrow a+b+c=0\)

Mặt khác, theo định lý Viet phương trình(1)  còn có nghiệm nữa là b, phương trình(2) còn có nghiệm nữa là a. Theo định lý Viet đảo, a và b là hai nghiệm của phương trình \(x^2-\left(a+b\right)x+ab=0\Leftrightarrow x^2+cx+ab=0\left(\text{đ}pcm\right)\)

Gì zay

đề là gì vậy e?

ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2026}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{\left(\sqrt{2026}-\sqrt{2025}\right)}{\left(\sqrt{2026}+\sqrt{2025}\right)\left(\sqrt{2026}-\sqrt{2025}\right)}\)

\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}+...+\sqrt{2026}-\sqrt{2025}\)

\(=-\sqrt{2}+\sqrt{2026}\)

Ta chỉ cần đưa \(4\sqrt{3}=2.\sqrt{a}.\sqrt{b}\) sao cho a+b=7 hoặc a+b=13
a) \(7+4\sqrt{3}=7+2\sqrt{4}.\sqrt{3}=\left(\sqrt{4}\right)^2+2\sqrt{4}.\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{4}+\sqrt{3}\right)^2\)
b) \(13-4\sqrt{3}=\left(\sqrt{12}\right)^2-2.\sqrt{12}.1+1^2=\left(\sqrt{12}-1\right)^2\)

Cái này mk hk rồi nè

\(7+4\sqrt{3}=4+2.2.\sqrt{3}+3=\left(\sqrt{3}+2\right)^2\)

\(13-4\sqrt{3}=12-2.2.\sqrt{3}+1=12-2.\sqrt{12}+1=\left(\sqrt{12}-1\right)^2\)

k mk nha