a. Câu này đơn giản em tự giải

b.

Xét hai tam giác OIM và OHN có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OIM}=\widehat{OHN}=90^0\\\widehat{MON}\text{ chung}\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OIM\sim\Delta OHN\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{ON}\Rightarrow OI.ON=OH.OM\)

Cũng từ 2 tam giác đồng dạng ta suy ra \(\widehat{OMI}=\widehat{ONH}\)

Tứ giác OAMI nội tiếp (I và A cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{OMI}\)

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{ONH}\) hay \(\widehat{OAI}=\widehat{ONA}\)

c.

Xét hai tam giác OAI và ONA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OAI}=\widehat{ONA}\left(cmt\right)\\\widehat{AON}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OAI\sim\Delta ONA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OA}{ON}=\dfrac{OI}{OA}\Rightarrow OI.ON=OA^2=OC^2\) (do \(OA=OC=R\))

\(\Rightarrow\dfrac{OC}{ON}=\dfrac{OI}{OC}\)

Xét hai tam giác OCN và OIC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OC}{ON}=\dfrac{OI}{OC}\\\widehat{CON}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OCN\sim\Delta OIC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OCN}=\widehat{OIC}=90^0\) hay tam giác ACN vuông tại C

\(\widehat{ABC}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow BC\perp AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACN với đường cao BC:

\(BC^2=BN.BA=BN.2BH=2BN.BH\) (1)

O là trung điểm AC, H là trung điểm AB \(\Rightarrow OH\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{2}BC\)

Xét hai tam giác OHN và EBC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OHN}=\widehat{EBC}=90^0\\\widehat{ONH}=\widehat{ECB}\left(\text{cùng phụ }\widehat{IEB}\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\Delta OHN\sim\Delta EBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OH}{EB}=\dfrac{HN}{BC}\Rightarrow HN.EB=OH.BC=\dfrac{1}{2}BC^2\)

\(\Rightarrow BC^2=2HN.EB\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BN.BH=HN.BE\)

\(\Rightarrow BN.BH=\left(BN+BH\right).BE\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BE}=\dfrac{BN+BH}{BN.BH}=\dfrac{1}{BH}+\dfrac{1}{BN}\) (đpcm)

Chắc câu c quá, tại tổng 2 ô vuông của hình chữ nhật có 10 chấm tròn. =)

Em nghĩ là câu c vì thấy tổng của các chấm tròn ở mỗi miếng đều là 10.

Bài 4:

a:

b:

Bài 3:

Bài 1:

a:

b:

Bài 5:

Bài 6:

4c.

Do M là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 

\(\Rightarrow\widehat{OMN}=\widehat{OMB}\)

Mà \(MB||NO\) (cùng vuông góc BC) \(\Rightarrow\widehat{OMB}=\widehat{MON}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{OMN}=\widehat{MON}\)

\(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại N

\(\Rightarrow MN=ON\)

Cũng theo 2 t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau \(\Rightarrow MA=MB\)

Do MD là tiếp tuyến của (O) tại A \(\Rightarrow OA\perp MD\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OND với đường cao OA:

\(ON^2=NA.ND\Rightarrow MN^2=NA.ND\)

\(\Rightarrow MN^2=\left(MA-MN\right).ND=\left(MB-MN\right).ND\)

\(\Rightarrow MN^2=MB.ND-MN.ND\)

\(\Rightarrow MB.ND-MN^2=MN.ND\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB.ND-MN^2}{MN.ND}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MN}-\dfrac{MN}{ND}=1\) (đpcm)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có \(\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac35\)

nên \(\hat{C}\) ≃37 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{B}+\hat{C}=90^0\)

=>\(\hat{B}=90^0-37^0=53^0\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(AE\cdot AB=AH^2\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AB}\)

\(AF\cdot AC=AH^2\)

=>\(AF=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEHF}=AE\cdot AF=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)

Bài 3:

a: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của BC

Xét ΔBOD có

BI là đường cao

BI là đường trung tuyến

Do đó: ΔBOD cân tại B

=>BO=BD

ma BO=OD

nên BO=BD=OD

=>ΔBOD đều

=>\(\hat{BOD}=\hat{BDO}=\hat{OBD}=60^0\)

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>\(\hat{BAD}+\hat{BDA}=90^0\)

=>\(\hat{BAD}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔAIB vuông tại I và ΔAIC vuông tại I có

AI chung

IB=IC

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

=>AB=AC

ΔAIB=ΔAIC

=>\(\hat{IAB}=\hat{IAC}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAC}=2\cdot\hat{BAD}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔABC có AB=AC và \(\hat{BAC}=60^0\)

nên ΔABC đều

b: ΔOBD đều

=>BD=OB=R

ΔABD vuông tại B

=>\(BA^2+BD^2=AD^2\)

=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(BA=R\sqrt3\)

=>\(BA=AC=BC=R\sqrt3\)

Bài 2:

Gọi vận tốc lúc đi là \(v\) (km/h), vận tốc lúc về là \(1,2 v\).
Quãng đường mỗi lượt là 120 km.

– Thời gian đi: \(\frac{120}{v}\)
– Thời gian về: \(\frac{120}{1,2 v} = \frac{100}{v}\)

Tổng thời gian đi và về bằng 4,4 giờ nên:

\(\frac{120}{v}+\frac{100}{v}=4,4\Rightarrow\frac{220}{v}=4,4\Rightarrow v=\frac{220}{4,4}=50(\text{km}/\text{h})\)

=> Vậy vận tốc lúc đi là 50 km/h, vận tốc lúc về là 60 km/h.

Bài 1b:

\(\frac{2}{3 x - 1} + \frac{1}{x} = \frac{4}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} (Đ\text{KX}Đ:\&\text{nbsp}; x \neq 0 , \textrm{ }\textrm{ } 3 x \neq 1 )\)

Quy đồng:

\(\frac{2 x + \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} = \frac{4}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} \Rightarrow \frac{5 x - 1}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} = \frac{4}{x \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)} \Rightarrow 5 x - 1 = 4 \Rightarrow 5 x = 5 \Rightarrow x = 1\)

Kiểm tra ĐKXĐ: \(x = 1\) thỏa mãn.

=> Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).

tukgkdu

tungtungtungsahur

\(A=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{4-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4+\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{4-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{5+\sqrt{5}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{5-\sqrt{5}}=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)+2\left(3-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}\)

\(=\dfrac{40}{20}=2\)

Coi số 4 và số 5 là một số, ta sẽ lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà trong đó có 1 số gồm 2 chữ số là 4 và 5.

Số cách chọn 3 chữ số khác nhau còn lại là: \(C_7^3=35\) (cách)

Số cách xếp 4 số vào 4 vị trí là 4!=24(cách)

Số cách xếp hai chữ số 4 và 5 là 2(cách)

Tổng số cách là: \(35\cdot24\cdot2=1680\) (cách)