Nếu n không chia hết cho 3\(\Rightarrow\)n² không chia hết cho 3=>n² chia 3 dư 1 hoặc 2.

-Nếu n² chia 3 dư 1 =>n² -1 chia hết cho 3.

-Nếu n² chia 3 dư 2 =>n²+1 chia hết cho 3.

Vậy n² -1 và n²+1 không thể đồng thời là hai số nguyên tố vì một trong hai số trên chia hết cho 3(đpcm)

Ta có : 2ⁿ -1 ; 2ⁿ và 2ⁿ + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp.

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có 1 số  \(⋮\)3

Mà 2ⁿ - 1 là số nguyên tố => 2ⁿ + 1 không chia hết cho 3

và 2ⁿ k^o chia hết cho 3 ( vì 2ⁿ là bội của 2 ko chia hết cho 3 và n>2)

=> 2ⁿ +1 chia hết cho\(⋮\)3

=> 2ⁿ +1 là hợp số 

   => Điều cần chứng minh

bn trong doi tuyen ha?

Bài giải

Ta có: n² - 1 và n² + 1 (n không chia hết cho 3, n > 2, n \(\in\)N gì đó)

Xét n:

Vì n không chia hết cho 3

Suy ra n² chia 3 dư 1

Xét ba số tự nhiên liên tiếp: n² - 1; n²; n² + 1

Vì n² chia 3 dư 1

Nên n² - 1 \(⋮\)3

Suy ra n² - 1 là hợp số

Vậy...

\(n\) lớn hơn 2 và ko chia hết cho 3 nên \(n\) tồn tại dưới 2 dạng là 3k+1 hoặc 3k+2.
Nếu \(n\) có dạng 3k + 2
n² + 1 = ( 3k + 2 )² + 1 = 9k² + 12k + 5
n² - 1 = 9k² + 12k + 3 chia hết cho 3
=> Ko thể đồng thời là số nguyên tố
Nếu n có dạng 3k + 1
n² + 1= ( 3k + 1 )² + 1 = 9k² + 6k + 2
n² - 1= ( 3k + 1 )² - 1 = 9k²+ 6k chia hết cho 3
=> Ko thể đồng thời là số nguyên tố
Vậy với n thuộc N , n > 2 và ko chia hết cho 3 thì n² + 1 và n²- 1 ko thể đồng thời là số nguyên tố.

Chúc học tốt!!!

Gọi \(d=ƯCLN\left(n+1;3n+4\right)\) (\(d\in N\)*)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N\)*; \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n+1;3n+4\right)=1\)

\(\Rightarrow n+1;3n+4\) nguyên tố cùng nhau với mọi n

1) trả lời

4253 + 1422 =5775

mà 5775 chia hết cho 3;5

=>nó là hợp số

mình xin lỗi ấn nhầm bây giờ mk giải tiếp

giải

2) để 5x + 7 là số nguyên tố

=>5x+7 chia hết cho 5x+7 và 1

=>x thuộc (2;6)

3) trả lời 

n.(n+1) là hợp số bởi vì 

nếu n+1 là số lẻ=>n là số chẵn mà chẵn nhân với lẻ lại được số chẵn chia hết cho 2

nếu n+1 là số chẵn =>n là số lẻ mà lẻ nhân chẵn sẽ được số chẵn chia hết cho 2

mình xin lỗi mình chỉ làm dc thế thôi nhé, nếu bạn ko k thi thôi, ko sao

chào bạn

Lời giải:

Nếu $n$ là số chẵn. Đặt $n=2k$ ($k$ tự nhiên)

$\Rightarrow 2^n-1=2^{2k}-1=4^k-1=(3+1)^k-1=\text{BS3}+1-1=\text{BS3}$ chia hết cho $3$

Mà $2^n-1>3$ với mọi $n>2$ nên không thể là số nguyên tố.

Do đó $n$ là số lẻ. Đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2^n+1=2^{2k+1}+1=2.4^k+1=2(3+1)^k+1=2(\text{BS3}+1)+1=2\text{BS3}+3=\text{BS3}$

Mà $2^n+1>3$ nên $2^n+1$ là hợp số (đpcm)

Ký hiệu: $\text{BS3}$ là bội số của $3$