Câu hỏi của Đinh Xuân Thành

Question

Chứng tỏ rằng nếu P là số nguyên tố lớn hơn 3 thì P² -1 ⁝ 3

Tạ Thanh Tâm · Accepted Answer

Nếu $p > 3$ là số nguyên tố, thì $p$ không chia hết cho 3, nên khi chia 3 chỉ còn hai khả năng: $p = 3 k + 1$ hoặc $p = 3 k + 2$ với một số nguyên $k$.

Nếu $p = 3 k + 1$ thì $p^{2} - 1 = \left(\right. 3 k + 1 \left.\right)^{2} - 1 = 9 k^{2} + 6 k = 3 \left(\right. 3 k^{2} + 2 k \left.\right)$, chia hết cho 3.
Nếu $p = 3 k + 2$ thì $p^{2} - 1 = \left(\right. 3 k + 2 \left.\right)^{2} - 1 = 9 k^{2} + 12 k + 3 = 3 \left(\right. 3 k^{2} + 4 k + 1 \left.\right)$, chia hết cho 3.

Vậy $p^{2} - 1$ luôn chia hết cho 3.

Câu trả lời:

Nếu $p > 3$ là số nguyên tố, thì $p$ không chia hết cho 3, nên khi chia 3 chỉ còn hai khả năng: $p = 3 k + 1$ hoặc $p = 3 k + 2$ với một số nguyên $k$.

Nếu $p = 3 k + 1$ thì $p^{2} - 1 = \left(\right. 3 k + 1 \left.\right)^{2} - 1 = 9 k^{2} + 6 k = 3 \left(\right. 3 k^{2} + 2 k \left.\right)$, chia hết cho 3.
Nếu $p = 3 k + 2$ thì $p^{2} - 1 = \left(\right. 3 k + 2 \left.\right)^{2} - 1 = 9 k^{2} + 12 k + 3 = 3 \left(\right. 3 k^{2} + 4 k + 1 \left.\right)$, chia hết cho 3.

Vậy $p^{2} - 1$ luôn chia hết cho 3.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

P là số nguyên tố lớn hơn 3

=>P=3k+1 hoặc P=3k+2

TH1: P=3k+1

$P^2-1$

$=\left(3k+1\right)^2-1$

=(3k+1-1)(3k+1+1)

=3k(3k+2)⋮3(1)

TH2: P=3k+2

$P^2-1=\left(3k+2\right)^2-1$

=(3k+2-1)(3k+2+1)

=(3k+3)(3k+1)

=3(k+1)(3k+1)⋮3(2)

Từ (1),(2) suy ra $P^2-1$ ⋮3