D ez nhất :v

\(D=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)+5\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+5\ge5\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 1 và y = -2

\(A=\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+4\left(x-y\right)+4\right]+\left(y^2-2y+1\right)+2020\)

\(=\left[\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right).2+2^2\right]+\left(y-1\right)^2+2020\)

\(=\left(x-y+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+2020\ge2020\)

Dấu "=" xảy ra khi y = 1 và x - y + 2 = 0 tức là x = y - 2 = -1

A = 2\(x^2\) + 3y\(^2\) - 8\(x\) - 6y + 15

A = 2(\(x^2\) - 4\(x\) + 4) + 3(y\(^2-2y+1\)) + 6

A = 2.(\(x-2)^2\) + 3(y - 1)\(^2\) + 4

Vì (\(x-2)^2\) ≥ 0; ∀ \(x\); (y -1)\(^2\) ≥ 0 ∀ y

⇒ 2.(\(x-2)^2\) ≥ 0 ∀ \(x\); 3(y - 1)\(^2\) + 4 ≥ y ∀ y

2.(\(x-2)^2\) + 3(y - 1)\(^2\) + 4 ≥ 4; Dấu bằng xảy ra khi:

\(\begin{cases}x-2=0\\ y-1=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2\\ y=1\end{cases}\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi (\(x;y\)) = (2; 1)

Bài 1: Chắc đề là \(a^4-4a^2+4a-1\)

Ta có: \(a^4-4a^2+4a-1=a^4-\left(4a^2-4a+1\right)=a^4-\left(2a-1\right)^2=\left(a^2-2a+1\right)\left(a^2+2a-1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a^2+2a-1\right)\)

là số nguyên tố \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=1\\a^2+2a-1=1\end{matrix}\right.\) ( tự giải tiếp)

Bài 2: Làm mẫu một bài thôi nhé

a) Đặt A = \(2x^2+2y^2+2xy-8x-10y+2025\)

\(2A=4x^2+4y^2+4xy-16x-20y+4050\)

\(=\left(2x\right)^2+2.2x\left(y-4\right)+\left(y-4\right)^2-\left(y-4\right)^2+4y^2-20y+4050\)

\(=\left(2x+y-4\right)^2-\left(y^2-8y+16\right)+4y^2-20y+4050\)

\(=\left(2x+y-4\right)^2+3y^2-12y+4034=\left(2x+y-4\right)^2+3\left(y^2-4y+4\right)+4022=\left(2x+y-4\right)^2+3\left(y-2\right)^2+4022\ge4022\forall x,y\)

Vậy min A = 4022 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y-4=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

thanks bạn !

Ta Có :

\(M=x^2+2y^2+2xy-2x-6y+2020\)

\(M=\left(x^2+2xy-2x\right)+2y^2-6y+2020\)

\(M=\left(x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2\right)+2y^2-6y+2020-\left(y-1\right)^2\)

\(M=\left(x+y-1\right)^2+2y^2-6y-y^2+2y-1+2020\)

\(M=\left(x+y-1\right)^2+\left(y^2-4y+4\right)+2015\)

\(M=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2015\)

Nhận xét : Vì \(\left(x+y-1\right)^2\ge0\) với \(\forall x,y\)

Và \(\left(y-2\right)^2\ge0\) với \(\forall y\)

\(\Rightarrow M\ge2015\) với \(\forall x,y\)

Vậy GTNN của M là 2015 đạt được khi

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

tik mik nha !!!

x² + 2y² + 2xy - 2x - 6y + 2020

= x² + 2xy + y² + y² - 2x - 6y + 2020

= (x+y)² + y² - 4y + 4 - 2x - 2y + 2016

= (x+y)² + (y-z)² - 2(x+y) + 2016

= (x+y)² - 2(x+y) + 1 + (y-z)² + 2015

= (x+y-1)² + (y-z)² + 2015 ≥ 2015

Dấu "=" xảy ra khi x+y-1=0 và y-2=0

(=) x=-1 y=2

Vậy GTNN của biểu thức trên là 2015 khi x=-1 và y=2

Chúc bạn học tốt ^^

A = x² - 2xy + 6y² - 12x + 2y + 45

   = (x² - 2xy + y² - 12x + 12y + 36) + (5y² - 10y + 5) + 4

   = [(x - y)² - 12(x - y) + 6^2] + 5(y² - 2y + 1) + 4

   = (x - y - 6)² + 5(y - 1)² + 4

Vì (x - y - 6)² >= 0 với mọi x, y

   5(y² - 1) >= 0 với mọi y

=> A_min = 4 <=> y = 1, x = 7

\(A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45\)

\(A=x^2+y^2+36-2xy-12x+12y+5y^2-10y+5+4\)

\(A=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+4\ge4\)

GTNN của A = 4 khi và chỉ khi  \(\hept{\begin{cases}y-1=0\\x-y-6=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=7\end{cases}}\)

violympic có bài này á, chưa gặp bao giờ

Ta có: \(2x^2+2y^2+2xy-6y+8=\left(2x^2+2xy+\frac{1}{2}y^2\right)+\left(\frac{3}{2}y^2-6y+6\right)+2=2\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{2}\left(y-2\right)^2+2\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{-y}{2}\\y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy....

Ta có đặt A= \(\left(x^2+y^2-1+2xy-2y-2x\right)\)+\(\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-4x+4\right)\)+4

=\(\left(x+y-1\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+4\)≥4

=>GTNN của biểu thức <=>\(min_A\)=4

Dấu "=" xảy ra <=>x+y-1=0

x+1=0

y-2=0

=> x=-1

y=-2

a)\(x^2-4x+y^2-2y+10=\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-2y+1\right)+5\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+5\ge5\)

Dấu "=" xảy ra khi x=2;y=1

b) tương tự câu a

c)\(x^2+2y^2-6x-8y+2xy+5=x^2+2y^2+2x\left(y-3\right)-8y+5\)

\(=x^2+2x\left(y-3\right)+\left(y^2-6x+9\right)+\left(y^2-2x+1\right)-5\)

\(=x^2+2x\left(y-3\right)+\left(y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2-5\)

\(=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2-5\ge-5\)

Dấu "=" xảy ra khi x=2;y=1