Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Ta có
\(4a^2+b^2=5ab\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+b^2-ab=0\)
\(\Leftrightarrow4a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(4a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=0\\4a-b=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\4a=b\end{cases}}\)
\(TH1:a=b\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4a^2-a^2}=\frac{a^2}{3a^2}=\frac{1}{3}\)
\(TH2:4a=b\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2}{4a^2-16a^2}=\frac{4a^2}{-12a^2}=\frac{-1}{3}\)
Vậy...............
k mk nha
Thật ra bài này là một câu trắc nghiệm thôi và mình muốn có lời giải rõ ràng. Có 4 đáp án các bạn chọn và giải rõ ràng ra nhé.
Hệ số k tốt nhất là:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{5}\)
Ta có \(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\)\(\ge\)\(\sqrt{2^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\)(1)
Ta lại có \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
\(\frac{a^2+1}{2}\ge a\)
\(\frac{b^2+1}{2}\ge b\)
Từ đó => a2 + b2 \(\ge\)a + b + ab - 1 = \(\frac{1}{4}\)
Thế vào 1 ta được P \(\ge\)\(\frac{\sqrt{65}}{4}\)
\(\frac{9}{4}=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\frac{\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2}{2}=\frac{2\left(a^2+1\right)+2\left(b^2+1\right)}{2}=a^2+b^2+2.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{4}\)
\(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
hơi khó nha mn
Bước 1: Biến đổi điều kiện
\(\frac{b^{2}}{4} = 4 - 2 a^{2} - \frac{1}{a^{2}} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{2} = 16 - 8 a^{2} - \frac{4}{a^{2}}\) \(b = \pm \sqrt{16 - 8 a^{2} - \frac{4}{a^{2}}}\) \(Q = a b + 2023 = a \cdot \sqrt{16 - 8 a^{2} - \frac{4}{a^{2}}} + 2023\)
Bước 2: Đặt \(f \left(\right. a \left.\right) = 16 - 8 a^{2} - \frac{4}{a^{2}}\), cần \(f \left(\right. a \left.\right) \geq 0\)
\(8 a^{2} + \frac{4}{a^{2}} \leq 16 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 a^{2} + \frac{1}{a^{2}} \leq 4\) \(2 a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 t + \frac{1}{t} = 4 , t = a^{2}\) \(2 t^{2} - 4 t + 1 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(a^{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Bước 3: Tìm \(b^{2}\) theo \(a^{2}\)
\(8 a^{2} = 8 + 4 \sqrt{2} , \frac{4}{a^{2}} = 8 - 4 \sqrt{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{2} = 16 - 16 = 0\)
\(8 a^{2} = 8 - 4 \sqrt{2} , \frac{4}{a^{2}} = 8 + 4 \sqrt{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{2} = 16 - 16 = 0\)
Bước 4: Kết luận
Qmax=2023\boxed{Q_{\max} = 2023}Qmax=2023