Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từng bài 1 thôi bạn!
A B C J O N K H M
vẽ trên đt thông cảm!
Do đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là O
Ta có bổ đề: \(OM=AN=NH=\frac{1}{2}AH\)(tự chứng minh)
Vì \(\widehat{BAH}=\widehat{OAC}\)(cùng phụ với \(\widehat{ABC}\))
Mà AK là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
=> AK là phân giác
\(\widehat{HAO}\Rightarrow\widehat{NAK}=\widehat{KAO}\)
Theo bổ đề trên ta có tứ giác ANMO là hình bình hành
=> HK//AO
=> \(\widehat{AKN}=\widehat{KAO}=\widehat{NAK}\left(cmt\right)\)
Hay tam giác NAK cân tại N mà N là trung điểm AH
=> AN=NH=NK
=> \(\Delta AHK\)vuông tại K
a: ΔABC vuông tại A
mà AM là đuờng trung tuyến
nên MA=MB=MC=BC/2
=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Xét (O) có
\(\hat{BAP}\) là góc nội tiếp chắn cung BP
\(\hat{CAP}\) là góc nội tiếp chắn cung CP
\(\hat{BAP}=\hat{CAP}\) (AP là phân giác của góc BAC)
Do đó: sđ cung BP=sđ cung CP
=>PB=PC
=>P là điểm chính giữa của cung BC
=>PM⊥BC
mà AH⊥BC
nên PM//AH
b: MA=MP
=>ΔMAP cân tại M
=>\(\hat{MAP}=\hat{MPA}\)
mà \(\hat{MPA}=\hat{PAS}\) (MP//AS)
nên \(\hat{MAP}=\hat{MPA}=\hat{PAS}\)
a: góc ADB=góc AHB=90 độ
=>ADHB nội tiếp
b: góc EAD=90 độ-góc BAD=góc ABE
=>góc EAD=góc HBE
a: ΔABC vuông tại A
mà AM là đuờng trung tuyến
nên MA=MB=MC=BC/2
=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Xét (O) có
\(\hat{BAP}\) là góc nội tiếp chắn cung BP
\(\hat{CAP}\) là góc nội tiếp chắn cung CP
\(\hat{BAP}=\hat{CAP}\) (AP là phân giác của góc BAC)
Do đó: sđ cung BP=sđ cung CP
=>PB=PC
=>P là điểm chính giữa của cung BC
=>PM⊥BC
mà AH⊥BC
nên PM//AH
b: MA=MP
=>ΔMAP cân tại M
=>\(\hat{MAP}=\hat{MPA}\)
mà \(\hat{MPA}=\hat{PAS}\) (MP//AS)
nên \(\hat{MAP}=\hat{MPA}=\hat{PAS}\)
a: Xét tứ giác AEDC có \(\hat{AEC}=\hat{ADC}=90^0\)
nên AEDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EDC}+\hat{EAC}=180^0\)
mà \(\hat{EDC}+\hat{BDE}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{BDE}=\hat{BAC}\)
Gọi Bx là tiếp tuyến tại B của (O)
=>Bx⊥OB tại B
Xét (O) có
\(\hat{xBC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Bx và dây cung BC
\(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
Do đó: \(\hat{xBC}=\hat{BAC}\)
=>\(\hat{xBC}=\hat{BDE}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên DE//Bx
=>DE⊥OB
Ta chứng minh M, H, D, N cùng nằm trên một đường tròn.
𝐴 𝐵 ⊥ 𝐴 𝐶 AB⊥AC 𝐴 𝐻 AH là đường cao ⇒
𝐴 𝐻 ⊥ 𝐵 𝐶 , 𝐻 ∈ 𝐵 𝐶 AH⊥BC,H∈BC 𝐴 𝐷 AD là phân giác trong của ∠ 𝐻 𝐴 𝐶 ∠HAC ⇒
∠ 𝐻 𝐴 𝐷
∠ 𝐷 𝐴 𝐶 ∠HAD=∠DAC Phân giác trong của ∠ 𝐴 𝐵 𝐶 ∠ABC cắt:
𝐴 𝐻 AH tại 𝑀 M
𝐴 𝐷 AD tại 𝑁 N
∠ 𝑀 𝐻 𝑁
∠ 𝑀 𝐷 𝑁 ∠MHN=∠MDN hoặc tương đương:
∠ 𝑀 𝐻 𝐷
∠ 𝑀 𝑁 𝐷 ∠MHD=∠MND Chỉ cần chỉ ra hai góc cùng chắn một cung ⇒ tứ giác nội tiếp.
∠ 𝐻 𝐴 𝐶
90 ∘ ∠HAC=90 ∘
Mà 𝐴 𝐷 AD là phân giác của ∠ 𝐻 𝐴 𝐶 ∠HAC, suy ra:
∠ 𝐻 𝐴 𝐷
∠ 𝐷 𝐴 𝐶
45 ∘ ∠HAD=∠DAC=45 ∘
🔹 Bước 2: Xét vai trò của phân giác tại B Gọi 𝐵 𝐼 BI là phân giác của ∠ 𝐴 𝐵 𝐶 ∠ABC ⇒ 𝐵 𝐼 BI tạo với 𝐵 𝐴 BA và 𝐵 𝐶 BC các góc bằng nhau.
Do:
𝑀
𝐵 𝐼 ∩ 𝐴 𝐻 M=BI∩AH
𝑁
𝐵 𝐼 ∩ 𝐴 𝐷 N=BI∩AD
nên:
∠ 𝑀 𝐵 𝐻
∠ 𝑀 𝐵 𝐶
∠ 𝐴 𝐵 𝑀 ∠MBH=∠MBC=∠ABM và
∠ 𝑁 𝐵 𝐻
∠ 𝑁 𝐵 𝐶 ∠NBH=∠NBC 🔹 Bước 3: Chứng minh hai góc bằng nhau Xét hai tam giác:
△ 𝑀 𝐻 𝐷 △MHD
△ 𝑀 𝑁 𝐷 △MND
Ta có:
∠ 𝑀 𝐻 𝐷
90 ∘ − ∠ 𝑀 𝐵 𝐻 ∠MHD=90 ∘ −∠MBH
∠ 𝑀 𝑁 𝐷
90 ∘ − ∠ 𝑁 𝐵 𝐻 ∠MND=90 ∘ −∠NBH
Mà:
∠ 𝑀 𝐵 𝐻
∠ 𝑁 𝐵 𝐻 ∠MBH=∠NBH (vì cùng nằm trên phân giác góc 𝐴 𝐵 𝐶 ABC)
⇒
∠ 𝑀 𝐻 𝐷
∠ 𝑀 𝑁 𝐷 ∠MHD=∠MND 4. Kết luận Vì:
∠ 𝑀 𝐻 𝐷
∠ 𝑀 𝑁 𝐷 ∠MHD=∠MND nên bốn điểm 𝑀 , 𝐻 , 𝐷 , 𝑁 M,H,D,N cùng nằm trên một đường tròn.
✅ Kết luận cuối cùng: 𝑀 𝐻 𝑁 𝐷 l a ˋ tứ gi a ˊ c nội ti e ˆ ˊ p MHND l a ˋ tứ gi a ˊ c nội ti e ˆ
ˊ p