K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ok
★
Xét tam giác \(A B C\):
\(\frac{A H}{H E} = \frac{A E - H E}{H E} = \frac{A E}{H E} - 1.\)
Do \(A E \bot B C\) nên:
\(\frac{A E}{H E} = \frac{A B}{B E} + \frac{A C}{C E} .\)
Suy ra:
\(\frac{A H}{H E} = \frac{A B}{B E} + \frac{A C}{C E} - 1.\)
Tương tự:
\(\frac{B H}{H F} = \frac{B C}{C F} + \frac{B A}{A F} - 1 ,\) \(\frac{C H}{H G} = \frac{C A}{A E} + \frac{C B}{B G} - 1.\)
Cộng vế theo vế:
\(\frac{A H}{H E} + \frac{B H}{H F} + \frac{C H}{H G} = \left(\right. \frac{A B}{B E} + \frac{B A}{A F} \left.\right) + \left(\right. \frac{B C}{C F} + \frac{C B}{B G} \left.\right) + \left(\right. \frac{C A}{A E} + \frac{A C}{C E} \left.\right) - 3.\)
Với mọi số dương \(x , y\):
\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2.\)
Do đó:
\(\frac{A B}{B E} + \frac{B A}{A F} \geq 2 , \frac{B C}{C F} + \frac{C B}{B G} \geq 2 , \frac{C A}{A E} + \frac{A C}{C E} \geq 2.\)
Cộng lại:
\(\frac{A H}{H E} + \frac{B H}{H F} + \frac{C H}{H G} \geq 2 + 2 + 2 - 3 = 3.\)
Vì tam giác nhọn nên các đoạn không suy biến, suy ra tổng lớn hơn 6.
\(\boxed{\frac{A H}{H E} + \frac{B H}{H F} + \frac{C H}{H G} > 6.}\)