Cho ΔABC có 3 góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OF ⊥ BC, từ O kẻ OH ⊥ AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI
a. Chứng minh ΔFCH cân
b. Chứng minh AK = KI
c. Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng

a: Xét ΔCFO vuông tại F và ΔCHO vuông tại H có

CO chung

\(\hat{FCO}=\hat{HCO}\) (CO là phân giác của góc HCF)

Do đó: ΔCFO=ΔCHO

=>CF=CH

=>ΔCFH cân tại C

b: Sửa đề: Chứng minh KA=KI

Qua A, kẻ AE//BC(E∈FK)

Ta có: EA//FC

=>\(\hat{AEH}=\hat{CFH}\) (hai góc so le trong)

và \(\hat{CFH}=\hat{CHF}\) (ΔCFH cân tại C)

và \(\hat{CHF}=\hat{AHE}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{AEH}=\hat{AHE}\)

=>AE=AH

mà AH=FI

nên AE=FI

Xét ΔKFI và ΔKEA có

\(\hat{KFI}=\hat{KEA}\) (hai góc so le trong, AE//FI)

FI=EA

\(\hat{FKI}=\hat{EKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKFI=ΔKEA

=>KA=KI

c: IM=IF

=>ΔIMF cân tại I

=>\(\hat{IMF}=\hat{IFM}\)

mà \(\hat{IFM}=\hat{CHF}\) (ΔCHF cân tại C)

nên \(\hat{FMI}=\hat{FHC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MI//HC

=>MI//AC
f: ΔKAE=ΔKIF

=>KA=KI

=>K là trung điểm của AI

=>K nằm trên đường trung trực của AI(2)

Xét ΔOFI vuông tại F và ΔOHA vuông tại H có

OF=OH

FI=AH

Do đó: ΔOFI=ΔOHA

=>OI=OA

=>O nằm trên đường trung trực của AI(1)

Kẻ OD⊥AB tại D

Xét ΔADO vuông tại D và ΔAHO vuông tại H có

AO chung

\(\hat{DAO}=\hat{HAO}\)

Do đó: ΔADO=ΔAHO

=>OD=OH

ΔCFO=ΔCHO

=>OF=OH

mà OD=OH

nên OF=OD=OH

Xét ΔBDO vuông tại D và ΔBFO vuông tại F có

BO chung

OD=OF

Do đó: ΔBDO=ΔBFO

=>BD=BF

ΔADO=ΔAHO

=>AD=AH

mà AH=FI

nên AD=FI

BD+DA=BA

BF+FI=BI

mà DA=FI và BD=BF

nên BA=BI

=>B nằm trên đường trung trực của AI(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,O,K thẳng hàng

a: Xét ΔCFO vuông tại F và ΔCHO vuông tại H có

CO chung

\(\hat{FCO}=\hat{HCO}\) (CO là phân giác của góc HCF)

Do đó: ΔCFO=ΔCHO

=>CF=CH

=>ΔCFH cân tại C

b: Sửa đề: Chứng minh KA=KI

Qua A, kẻ AE//BC(E∈FK)

Ta có: EA//FC

=>\(\hat{AEH}=\hat{CFH}\) (hai góc so le trong)

và \(\hat{CFH}=\hat{CHF}\) (ΔCFH cân tại C)

và \(\hat{CHF}=\hat{AHE}\) (hai góc đối đỉnh)

nên \(\hat{AEH}=\hat{AHE}\)

=>AE=AH

mà AH=FI

nên AE=FI

Xét ΔKFI và ΔKEA có

\(\hat{KFI}=\hat{KEA}\) (hai góc so le trong, AE//FI)

FI=EA

\(\hat{FKI}=\hat{EKA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKFI=ΔKEA

=>KA=KI

c: IM=IF

=>ΔIMF cân tại I

=>\(\hat{IMF}=\hat{IFM}\)

mà \(\hat{IFM}=\hat{CHF}\) (ΔCHF cân tại C)

nên \(\hat{FMI}=\hat{FHC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MI//HC

=>MI//AC
f: ΔKAE=ΔKIF

=>KA=KI

=>K là trung điểm của AI

=>K nằm trên đường trung trực của AI(2)

Xét ΔOFI vuông tại F và ΔOHA vuông tại H có

OF=OH

FI=AH

Do đó: ΔOFI=ΔOHA

=>OI=OA

=>O nằm trên đường trung trực của AI(1)

Kẻ OD⊥AB tại D

Xét ΔADO vuông tại D và ΔAHO vuông tại H có

AO chung

\(\hat{DAO}=\hat{HAO}\)

Do đó: ΔADO=ΔAHO

=>OD=OH

ΔCFO=ΔCHO

=>OF=OH

mà OD=OH

nên OF=OD=OH

Xét ΔBDO vuông tại D và ΔBFO vuông tại F có

BO chung

OD=OF

Do đó: ΔBDO=ΔBFO

=>BD=BF

ΔADO=ΔAHO

=>AD=AH

mà AH=FI

nên AD=FI

BD+DA=BA

BF+FI=BI

mà DA=FI và BD=BF

nên BA=BI

=>B nằm trên đường trung trực của AI(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,O,K thẳng hàng

tính phương trình rồi cắt

Trả lời................

Tính phương chình tất cả

...................học tốt.................

Dễ thấy \(\Delta C O F = \Delta C O H \left(\right. c h - c g v \left.\right) \Rightarrow C F = C H \Rightarrow \Delta C F H\) cân tại C.

\(\Rightarrow \hat{C F H} = \hat{C H F} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Kẻ \(I G / / A C \left(\right. G \in F H \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{I G F} = \hat{C H F} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow \Delta I G F\) cân tại I.\(\Rightarrow I G = F I\) mà \(F I = A H \Rightarrow G I = A H\)

Xét \(\Delta A H K\) và \(\Delta I G K\) có:

\(\hat{H A I} = \hat{A I G}\)

\(A H = I G\)

\(\hat{A H G} = \hat{H G I}\)

\(\Rightarrow \Delta A H K = \Delta I G K \left(\right. g . c . g \left.\right) \Rightarrow A K = K I\)

b.

Hạ \(O E \bot A B \left(\right. E \in A B \left.\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow O E = O H = O F\)

Khi đó:

\(\Delta A O E = \Delta A O H \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow E A = H A\)

\(\Delta B O E = \Delta B O F \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow B E = B F\)

Ta có:

\(B A = B E + E A = B F + A H = B F + F I = B I\)

\(\Rightarrow \Delta A B I\) cân tại B.

Do \(K A = K I \Rightarrow B K\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.

Dễ thấy \(\Delta C O F = \Delta C O H \left(\right. c h - c g v \left.\right) \Rightarrow C F = C H \Rightarrow \Delta C F H\) cân tại C.

\(\Rightarrow \hat{C F H} = \hat{C H F} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Kẻ \(I G / / A C \left(\right. G \in F H \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{I G F} = \hat{C H F} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow \Delta I G F\) cân tại I.\(\Rightarrow I G = F I\) mà \(F I = A H \Rightarrow G I = A H\)

Xét \(\Delta A H K\) và \(\Delta I G K\) có:

\(\hat{H A I} = \hat{A I G}\)

\(A H = I G\)

\(\hat{A H G} = \hat{H G I}\)

\(\Rightarrow \Delta A H K = \Delta I G K \left(\right. g . c . g \left.\right) \Rightarrow A K = K I\)

b.

Hạ \(O E \bot A B \left(\right. E \in A B \left.\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow O E = O H = O F\)

Khi đó:

\(\Delta A O E = \Delta A O H \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow E A = H A\)

\(\Delta B O E = \Delta B O F \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow B E = B F\)

Ta có:

\(B A = B E + E A = B F + A H = B F + F I = B I\)

\(\Rightarrow \Delta A B I\) cân tại B.

Do \(K A = K I \Rightarrow B K\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.

Bạn tham khảo nhé:

https://h7.net/hoi-dap/toan-7/cho-tam-giac-abc-goc-a-c-cat-nhau-tai-o-f-va-h-la-hinh-chieu-cua-o-tren-bc-ac-faq28366.html

IB để lây link nha

Dễ thấy \(\Delta C O F = \Delta C O H \left(\right. c h - c g v \left.\right) \Rightarrow C F = C H \Rightarrow \Delta C F H\) cân tại C.

\(\Rightarrow \hat{C F H} = \hat{C H F} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Kẻ \(I G / / A C \left(\right. G \in F H \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{I G F} = \hat{C H F} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow \Delta I G F\) cân tại I.\(\Rightarrow I G = F I\) mà \(F I = A H \Rightarrow G I = A H\)

Xét \(\Delta A H K\) và \(\Delta I G K\) có:

\(\hat{H A I} = \hat{A I G}\)

\(A H = I G\)

\(\hat{A H G} = \hat{H G I}\)

\(\Rightarrow \Delta A H K = \Delta I G K \left(\right. g . c . g \left.\right) \Rightarrow A K = K I\)

b.

Hạ \(O E \bot A B \left(\right. E \in A B \left.\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow O E = O H = O F\)

Khi đó:

\(\Delta A O E = \Delta A O H \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow E A = H A\)

\(\Delta B O E = \Delta B O F \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow B E = B F\)

Ta có:

\(B A = B E + E A = B F + A H = B F + F I = B I\)

\(\Rightarrow \Delta A B I\) cân tại B.

Do \(K A = K I \Rightarrow B K\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.

Dễ thấy \(\Delta C O F = \Delta C O H \left(\right. c h - c g v \left.\right) \Rightarrow C F = C H \Rightarrow \Delta C F H\) cân tại C.

\(\Rightarrow \hat{C F H} = \hat{C H F} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Kẻ \(I G / / A C \left(\right. G \in F H \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{I G F} = \hat{C H F} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow \Delta I G F\) cân tại I.\(\Rightarrow I G = F I\) mà \(F I = A H \Rightarrow G I = A H\)

Xét \(\Delta A H K\) và \(\Delta I G K\) có:

\(\hat{H A I} = \hat{A I G}\)

\(A H = I G\)

\(\hat{A H G} = \hat{H G I}\)

\(\Rightarrow \Delta A H K = \Delta I G K \left(\right. g . c . g \left.\right) \Rightarrow A K = K I\)

b.

Hạ \(O E \bot A B \left(\right. E \in A B \left.\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow O E = O H = O F\)

Khi đó:

\(\Delta A O E = \Delta A O H \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow E A = H A\)

\(\Delta B O E = \Delta B O F \left(\right. c h . c g v \left.\right) \Rightarrow B E = B F\)

Ta có:

\(B A = B E + E A = B F + A H = B F + F I = B I\)

\(\Rightarrow \Delta A B I\) cân tại B.

Do \(K A = K I \Rightarrow B K\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.