Phần a) Chứng minh \(\triangle B M O \cong \triangle C N O\)

1. Thiết lập hệ toạ độ (khởi tạo từ nguyên lý đối xứng):
2. • Vì tam giác cân tại \(A\), đặt \(A = \left(\right. 0 , a \left.\right)\), \(B = \left(\right. - b , 0 \left.\right)\), \(C = \left(\right. b , 0 \left.\right)\), với \(b > 0 , a > 0\).
   • Đây là cách chuẩn để khai thác đối xứng AB = AC.
3. Xác định tọa độ các điểm M, N:
4. • M thuộc AB: \(M = \left(\right. - b \cdot t , a \cdot \left(\right. 1 - t \left.\right) \left.\right)\), với \(t \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\).
   • N thuộc AC: \(N = \left(\right. b \cdot s , a \cdot \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right)\), với \(s \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\).
   • Điều kiện \(B M = C N\): \(B M^{2} = \left(\right. - b - \left(\right. - b t \left.\right) \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - a \left(\right. 1 - t \left.\right) \left.\right)^{2} = \left(\right. - b + b t \left.\right)^{2} + \left(\right. - a \left(\right. 1 - t \left.\right) \left.\right)^{2} = b^{2} \left(\right. 1 - t \left.\right)^{2} + a^{2} \left(\right. 1 - t \left.\right)^{2} = \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right) \left(\right. 1 - t \left.\right)^{2}\) \(C N^{2} = \left(\right. b - b s \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right)^{2} = b^{2} \left(\right. 1 - s \left.\right)^{2} + a^{2} \left(\right. 1 - s \left.\right)^{2} = \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right) \left(\right. 1 - s \left.\right)^{2}\) Do đó \(1 - t = 1 - s \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = s\). Vậy \(M\) và \(N\) đối xứng theo trục AB = AC.
5. Phương trình đường thẳng BN và CM:
6. • BN: hai điểm \(B \left(\right. - b , 0 \left.\right)\), \(N \left(\right. b s , a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right)\)
     Slope: \(m_{1} = \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right) - 0}{b s - \left(\right. - b \left.\right)} = \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)}\)
     Phương trình: \(y - 0 = \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)} \left(\right. x + b \left.\right)\)
   • CM: hai điểm \(C \left(\right. b , 0 \left.\right)\), \(M \left(\right. - b s , a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right)\)
     Slope: \(m_{2} = \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right) - 0}{- b s - b} = \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{- b \left(\right. s + 1 \left.\right)} = - \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)}\)
     Phương trình: \(y - 0 = - \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)} \left(\right. x - b \left.\right)\)
7. Tọa độ giao điểm O: Giải hệ \(y = \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)} \left(\right. x + b \left.\right) , y = - \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)} \left(\right. x - b \left.\right)\) Giải: \(\frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)} \left(\right. x + b \left.\right) = - \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)} \left(\right. x - b \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x + b = - x + b \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 0\) Thay vào: \(y = \frac{a \left(\right. 1 - s \left.\right)}{b \left(\right. s + 1 \left.\right)} \cdot b = a \frac{1 - s}{s + 1}\).
   Vậy \(O = \left(\right. 0 , a \frac{1 - s}{s + 1} \left.\right)\).
8. Chứng minh tam giác bằng nhau: \(\triangle B M O \cong \triangle C N O\)
9. • BMO gồm các điểm \(B \left(\right. - b , 0 \left.\right) , M \left(\right. - b s , a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right) , O \left(\right. 0 , a \frac{1 - s}{s + 1} \left.\right)\)
   • CNO gồm các điểm \(C \left(\right. b , 0 \left.\right) , N \left(\right. b s , a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right) , O \left(\right. 0 , a \frac{1 - s}{s + 1} \left.\right)\)
   • Quan sát: hai tam giác là phản chiếu qua trục trung trực của BC, nên:
     \(\boxed{\triangle B M O \cong \triangle C N O}\) bằng phép đối xứng trục.

Phần b) Chứng minh AMN cân tại A ⇒ MN ∥ BC

1. Toạ độ M và N: \(M \left(\right. - b s , a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right) , N \left(\right. b s , a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right)\)
2. • MN: vector MN = \(N - M = \left(\right. b s - \left(\right. - b s \left.\right) , a \left(\right. 1 - s \left.\right) - a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right) = \left(\right. 2 b s , 0 \left.\right)\)
   • BC: vector BC = \(C - B = \left(\right. b - \left(\right. - b \left.\right) , 0 - 0 \left.\right) = \left(\right. 2 b , 0 \left.\right)\)
3. Nhận xét song song: \(\overset{\rightarrow}{M N} = 2 s \cdot \overset{\rightarrow}{B C} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } M N \parallel B C\)
4. Suy ra tam giác AMN cân tại A:
5. • AB = AC, MN song song với BC, M và N đối xứng theo trục đối xứng → tam giác AMN cân tại A.

Kết luận

• 1. \(\triangle B M O \cong \triangle C N O\), chứng minh bằng đối xứng tam giác.
• 1. \(M N \parallel B C\), suy ra tam giác AMN cân tại A.

a) Chứng minh tam giác BMO = tam giác CNO

Xét hai tam giác BMO và CNO.

Ta có:

1. BM = CN (giả thiết).
2. Góc BMO và góc CNO là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau.
3. Góc BOM và góc CON cũng là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau.

Vậy tam giác BMO và tam giác CNO có một cạnh và hai góc kề cạnh đó bằng nhau.
Suy ra tam giác BMO = tam giác CNO (theo trường hợp góc – cạnh – góc).

b) Suy ra MN song song BC

Từ phần a) ta có MO = ON, nên O là trung điểm của MN.

Ta biết BM = CN (giả thiết) và AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A).
Suy ra MB / AB = NC / AC.

Theo định lí Ta-lét đảo, nếu hai đoạn trên AB và AC có tỉ số bằng nhau thì MN song song BC.

Do đó MN ∥ BC.

ảo quá v ta

a: Xét ΔMBC và ΔNCB có

MB=NC

\(\hat{MBC}=\hat{NCB}\) (ΔABC cân tại A)
BC chung

Do đó: ΔMBC=ΔNCB

=>\(\hat{BMC}=\hat{CNB}\)

Ta có: AM+MB=AB

AN+NC=AC

mà MB=NC và AB=AC

nên AM=AN

Xét ΔAMC và ΔANB có

AM=AN

\(\hat{MAC}\) chung

AC=AB

Do đó: ΔAMC=ΔANB

=>\(\hat{ACM}=\hat{ABN}\)

Xét ΔOMB và ΔONC có

\(\hat{OMB}=\hat{ONC}\)

MB=NC

\(\hat{OBM}=\hat{OCN}\)

Do đó: ΔOMB=ΔONC

b: Xét ΔAMN có AM=AN

nên ΔAMN cân tại A

Xét ΔABC có \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)

nên MN//BC