1/
a/ \(x^2+y^2=x^2+y^2+2xy-2xy\)\(=\left(x+y\right)^2-2xy\)
thay vào: \(\left(x+y\right)^2-2xy=a^2-2b\)
b/ \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2+2xy-xy-2xy\right)\)\(=\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\)
thay vào: \(=\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]=a\left(a^2-3b\right)\)
c/ \(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2\)
thay vào: \(\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2=\left(a^2-2b\right)^2-2b^2\)
2/ \(\frac{1}{2}x2y5z3=\left(\frac{1}{2}.2.5.3\right)xyz\)\(=15xyz\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}x2y5z3\)có bậc là 3
3/ \(\frac{x}{4}=\frac{9}{x}\Leftrightarrow x^2=9.4\Rightarrow x^2=36\) mà \(x>0\Rightarrow x=6\)
4/ \(\left|2x-\frac{1}{2}\right|+\frac{3}{7}=\frac{38}{7}\Rightarrow\left|2x+\frac{1}{2}\right|=\frac{35}{7}=5\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x+\frac{1}{2}=5\Rightarrow2x=\frac{9}{2}\Rightarrow x=\frac{9}{4}\\2x+\frac{1}{2}=-5\Rightarrow2x=\frac{-11}{2}\Rightarrow x=\frac{-11}{4}\end{cases}}\)
\(C=\left(x^3+y^3\right)+3xy\left(x^2+y^2+2xy\left(x+y\right)\right)\)
\(C=\left(x^3+y^3+3x^2y+3xy^2-3x^2y-3xy^2\right)+3xy\left(x^2+y^2+2xy\right)\) (vì x+y=1)
\(C=\left(x+y\right)^3-3x^2y-3xy^2+3xy\left(x+y\right)^2\)
\(C=1^3-3xy\left(x+y\right)+3xy.1^2\) (vì x+y=1)
\(C=1-3xy+3xy\)(vì x+y=1)
\(C=1\)
\(D=2\left(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right)-3\left(\left(x+y\right)^2-2xy\right)\)
\(D=2\left(1^3-3xy\right)-3\left(1^2-2xy\right)\)(vì x+y=1)
\(D=2-6xy-3+6xy\)
\(D=-1\)
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
a) Ta có hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
Vậy nên \(a^3+b^3+c^3+6=0.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-6.\)
b) \(x^3+y^3+3xy=x^3+3xy\left(x+y\right)+y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=\left(x+y\right)^3=1.\)
c) \(x^3-y^3-3xy=x^3-3xy\left(x-y\right)-y^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=\left(x-y\right)^3=1.\)
Dễ thấy phương trình có nghiệm tầm thường là x = y = 0.
Tìm nghiệm khác 0. Đặt:
\(x=\frac{m}{n};y=\frac{-k}{l}\)(m, n, l, k khác 0)
\(\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{m.l}{n.k}\)
Vế trái là số vô tỷ. Do đó không có bất kỳ m, n, l, k nào thỏa mãn vì vế phải luôn luôn là số hữu tỷ.
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = y = 0
a) Giả sử \(x+y\) là số nguyên tố
Ta có : \(x^3-y^3⋮x+y\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)⋮x+y\)
\(\Rightarrow x^2+xy+y^2⋮x+y\) ( Do \(x-y< x+y,\left(x-y,x+y\right)=1\) vì \(x+y\) là số nguyên tố )
\(\Rightarrow x^2⋮x+y\) ( Do \(xy+y^2=y\left(x+y\right)⋮x+y\) )
\(\Rightarrow x⋮x+y\) (1)
Mặt khác \(x< x+y,x+y\) là số nguyên tố
\(\Rightarrow x⋮̸x+y\) mâu thuẫn với (1)
Do đó, điều giả sử sai.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1) \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
2) \(\frac{1}{xy}=\frac{1}{\left(\sqrt{xy}\right)^2}\ge\frac{1}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)
bạn Diệu Linh ơi, bài này bảo chứng minh điều đó là đúng chứ không bảo điều đó là giả thiết nhé bạn, nhưng cũng cảm ơn bạn vì đã giúp mình =))
Nếu x,yx comma y𝑥,𝑦là các số thực, phương trình này có thể có nghiệm.
Xét x=1x equals 1𝑥=1, 1−y3+3y+1=0⟹y3−3y−2=0⟹(y+1)2(y−2)=01 minus y cubed plus 3 y plus 1 equals 0 ⟹ y cubed minus 3 y minus 2 equals 0 ⟹ open paren y plus 1 close paren squared open paren y minus 2 close paren equals 01−𝑦3+3𝑦+1=0⟹𝑦3−3𝑦−2=0⟹(𝑦+1)2(𝑦−2)=0.
Vì y>0y is greater than 0𝑦>0, ta có y=2y equals 2𝑦=2. Nhưng điều kiện là x≥yx is greater than or equal to y𝑥≥𝑦, nên 1≥21 is greater than or equal to 21≥2là vô lý. Xét y=1y equals 1𝑦=1, x3−1+3x+1=0⟹x3+3x=0⟹x(x2+3)=0⟹x=0x cubed minus 1 plus 3 x plus 1 equals 0 ⟹ x cubed plus 3 x equals 0 ⟹ x open paren x squared plus 3 close paren equals 0 ⟹ x equals 0𝑥3−1+3𝑥+1=0⟹𝑥3+3𝑥=0⟹𝑥(𝑥2+3)=0⟹𝑥=0.
Điều kiện là x≥y>0x is greater than or equal to y is greater than 0𝑥≥𝑦>0, nên x=0x equals 0𝑥=0là vô lý. Có thể phương trình liên quan đến hằng đẳng thức a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a cubed plus b cubed plus c cubed minus 3 a b c equals open paren a plus b plus c close paren open paren a squared plus b squared plus c squared minus a b minus b c minus c a close paren𝑎3+𝑏3+𝑐3−3𝑎𝑏𝑐=(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎2+𝑏2+𝑐2−𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑐𝑎).
Viết lại phương trình: x3+(−y)3+13−3x(−y)(1)=0x cubed plus open paren negative y close paren cubed plus 1 cubed minus 3 x open paren negative y close paren open paren 1 close paren equals 0𝑥3+(−𝑦)3+13−3𝑥(−𝑦)(1)=0.
Áp dụng hằng đẳng thức: (x−y+1)(x2+(−y)2+12−x(−y)−(−y)(1)−(1)x)=0open paren x minus y plus 1 close paren open paren x squared plus open paren negative y close paren squared plus 1 squared minus x open paren negative y close paren minus open paren negative y close paren open paren 1 close paren minus open paren 1 close paren x close paren equals 0(𝑥−𝑦+1)(𝑥2+(−𝑦)2+12−𝑥(−𝑦)−(−𝑦)(1)−(1)𝑥)=0 (x−y+1)(x2+y2+1+xy+y−x)=0open paren x minus y plus 1 close paren open paren x squared plus y squared plus 1 plus x y plus y minus x close paren equals 0(𝑥−𝑦+1)(𝑥2+𝑦2+1+𝑥𝑦+𝑦−𝑥)=0 Ta có hai trường hợp:
1) x−y+1=0⟹y=x+1x minus y plus 1 equals 0 ⟹ y equals x plus 1𝑥−𝑦+1=0⟹𝑦=𝑥+1.
Kết hợp với điều kiện x≥y>0x is greater than or equal to y is greater than 0𝑥≥𝑦>0, ta có x≥x+1⟹0≥1x is greater than or equal to x plus 1 ⟹ 0 is greater than or equal to 1𝑥≥𝑥+1⟹0≥1, vô lý.
2) x2+y2+1+xy+y−x=0x squared plus y squared plus 1 plus x y plus y minus x equals 0𝑥2+𝑦2+1+𝑥𝑦+𝑦−𝑥=0