a)  ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

 Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)

tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)

=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)

mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)

cộng từng vế ta có \(S\ge9\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2

câu 2 tương tự

chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin

dat bt tren la A . ap bdt bunhiacopxki ta co                                                                                                                                    (a+b+c)^2 = ( a/(can1+c^2) . (can1+c^2) + b/(can1+a^2) . (can1+a^2) +c/(can1+b^2) . (can1+b^2) )^2 <= A(1 + c^2 + 1 + a^2 +1 + b^2)      ...  0 <= A(3+a^2+b^2+c^2) ...nen 0<=A  vì a,b,c>0 nen(3+a^2+b^2+c^2)>0                                                                                          vay minA=0 khi a=b=c=0

Ta có:

\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.\frac{b^2}{a-1}}\)

\(=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\)

Vì \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}\ge2;\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge2\Rightarrow A\ge8\)

=> min A=8 <=> a=b=2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)

Đặt a + b - 2 = x => x > 0

Khi đó \(A\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}=\frac{x^2+4x+4}{x}=\left(x+\frac{4}{x}\right)+4\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}+4=8\)( AM-GM )

Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 => a=b=2

Vậy MinA = 8 <=> a=b=2

Đặt \(a-1=x>0,b-1=y>0\), ta có

\(A=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}+\frac{\left(y+1^2\right)}{y}=\frac{x^2+2x+1}{x}+\frac{y^2+2y+1}{y}\)

\(=\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+4\)

Với \(x>0,y>0\)ta có \(x+\frac{1}{x}\ge2,y+\frac{1}{y}\ge2\)nên \(A\ge8\)

\(Min_A=8\Leftrightarrow x=y=1\Leftrightarrow a=b=2\)

P/s tham khảo nha

Sử dụng \(AM-GM\)ta có :

\(\frac{a^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge2\sqrt{\left(2a\right)^2}=4a\)

Tương tự : \(\frac{b^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge4b\)

Cộng theo vế : \(A+4\left(a+b\right)-8\ge4\left(a+b\right)\)

\(< =>A\ge8\)

Dấu = xảy ra \(< =>a=b=2\)

Ta có

\(M=\left(1+a\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)+\left(1+b\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\ge2+2+a+b+\frac{4}{a+b}\)

\(=4+a+b+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+b}\)

 \(\ge4+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{2}{\left(a+b\right)}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)

\(=4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)