cho mik xin 1 like

Cho:

• \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn, \(A\) là điểm ngoài đường tròn.
• Qua \(A\) vẽ tiếp tuyến \(A B , A C\) với \(B , C\) là các tiếp điểm.
• \(A O\) cắt \(B C\) tại \(M\).

a. Chứng minh \(C M \bot O A\)

1. Ta biết \(A B , A C\) là tiếp tuyến nên:

\(\angle O B A = \angle O C B = 90^{\circ} \&\text{nbsp};(\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m})\)

1. Theo tính chất hình học: nếu \(A O\) là đường nối tâm và điểm ngoài đường tròn, cắt \(B C\) tại \(M\), thì \(M\) là trung điểm của \(B C\).
2. Kết luận:

\(C M \&\text{nbsp};(\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp};\text{BM})\&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; O A\)

(Ý: OA là trung trực của BC theo tính chất của hai tiếp tuyến từ điểm ngoài.) ✅

b. Tính \(B M\) biết \(O M = 2 \textrm{ } c m\) và \(A M = 8 \textrm{ } c m\)

Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông (tam giác \(O M A\) vuông tại \(M\)):

\(O M^{2} + B M^{2} = A M^{2}\)

Thay số:

\(2^{2} + B M^{2} = 8^{2}\) \(4 + B M^{2} = 64\) undefined

• Đây là tính chất hình học về đoạn thẳng:
  Nếu \(G\) là trung điểm của \(E F\) trên đường kính và \(O G\) cắt \(B C\) tại \(H\), thì:

\(O M \cdot O A = O G \cdot O H\)

• Ta sử dụng định lý về đoạn thẳng nối tâm với tiếp tuyến (Power of a Point):

\(A M^{2} = B M \cdot M C = \left(\right. B M \left.\right) \left(\right. B C - B M \left.\right)\)

khê qúa

Đáp án là google

a) Chứng minh CM: OA là trung trực của BC

Ý chính: Trong tam giác tiếp tuyến – nối tâm, đường nối tâm với điểm ngoài là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Chứng minh

• Vì AB và AC đều là tiếp tuyến tại B và C nên:

\(O B \bot A B , O C \bot A C\)

• ⇒ tam giác OBA và OCA đều là tam giác vuông tại B và C.
• Mà AB = AC (hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài luôn bằng nhau).

→ Tam giác OAB và OAC cân theo cạnh huyền OA.

→ ⇒ OB = OC.

• Trong tam giác ABC, vì AB = AC ⇒ B, C đối xứng qua đường phân giác của ∠BAC.
• AO chính là phân giác của ∠BAC.
• BC vuông góc với phân giác tại điểm M (do tính chất tiếp tuyến–tiếp tuyến).

→ AO là trung trực BC
→ M là trung điểm BC.

b) Tính BM biết OM = 2 cm, AM = 8 cm

Từ câu a, ta có:
M là trung điểm BC.

Trong tam giác AOB và AOC:

\(\text{S}ử\&\text{nbsp};\text{d}ụ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h}ệ\&\text{nbsp};\text{th}ứ\text{c}\&\text{nbsp};\text{l}ượ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}:\&\text{nbsp}; O M \cdot O A = M B^{2}\)

Vì M là trung điểm BC và O lies on perpendicular bisector.

Thay số vào:

\(B M^{2} = O M \cdot A M = 2 \cdot 8 = 16\) \(B M = 4 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

c) Chứng minh \(O M \cdot O A = O G \cdot O H\)

Hình dựng thêm

• BE là đường kính.
• AE cắt đường tròn tại F.
• G là trung điểm EF.
• OG cắt BC tại H.

Ý tưởng

Ta sẽ chứng minh bằng tính chất đồng dạng + trục đẳng phương.

Lập luận chuẩn mực

• Điểm F nằm trên (O) nên:

\(O E \bot E F \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{BE}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh} \left.\right)\)

→ G là trung điểm EF ⇒ OG là đường trung tuyến trong tam giác OEF.

→ OG luôn chia tỉ lệ đoạn trên mặt phẳng liên quan đến các trục đẳng phương.

Điểm M

M là điểm có quyền phương:

\(\text{Pow} \left(\right. M \left.\right) = M B^{2} = O M \cdot O A\)

(đã dùng ở câu b)

Điểm H (giao OG với BC)

Do OG là trục đẳng phương của 2 đường tròn phụ sinh từ hệ (O, đường tròn đường kính AE), ta thu được:

\(\text{Pow} \left(\right. H \left.\right) = O G \cdot O H\)

→ Các điểm M và H cùng nằm trên đường thẳng BC và AO cắt nhau đẹp →

→ Hai điểm này có cùng quyền phương đối với (O).

Kết luận

\(O M \cdot O A = O G \cdot O H\)

d) Chứng minh EH là tiếp tuyến của (O)

Để EH là tiếp tuyến tại E, ta cần:

\(H E^{2} = \text{Pow} \left(\right. H \left.\right) = O G \cdot O H\)

Từ câu c:

\(O G \cdot O H = O M \cdot O A = M B^{2}\)

mà điểm H nằm ngoài (O) và thỏa:

\(H E^{2} = \text{Pow} \left(\right. H \left.\right)\)

→ EH tiếp xúc (O).

Kết luận: EH là tiếp tuyến tại E.

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

b: OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại M và M là trung điểm của BC

Xét ΔBOA vuông tại B có BM là đường cao

nên \(BM^2=MA\cdot MO\)

=>\(BM^2=2\cdot8=16=4^2\)

=>BM=4(cm)

c: ΔOFE cân tại O

mà OG là đường trung tuyến

nên OG⊥FE tại G

Xét ΔOGA vuông tại G và ΔOMH vuông tại M có

\(\hat{GOA}\) chung

Do đó: ΔOGA~ΔOMH

=>\(\frac{OG}{OM}=\frac{OA}{OH}\)

=>\(OG\cdot OH=OM\cdot OA\)

d: Xét ΔOBA vuông tại B có BM là đường cao

nên \(OM\cdot OA=OB^2=R^2\)

=>\(OG\cdot OH=R^2=OE^2\)

=>\(\frac{OG}{OE}=\frac{OE}{OH}\)

Xét ΔOGE và ΔOEH có

\(\frac{OG}{OE}=\frac{OE}{OH}\)

góc GOE chung

Do đó: ΔOGE~ΔOEH

=>\(\hat{OGE}=\hat{OEH}\)

=>\(\hat{OEH}=90^0\)

=>HE là tiếp tuyến của (O)