Lời giải:

-Nếu $p,q$ cùng tính chẵn lẻ. Khi đó \(p^q+q^p\) chẵn, kéo theo $r$ chẵn. Ta suy ra \(r=2\). Mà từ \(p^q+q^p=r\Rightarrow r>p,q\Leftrightarrow 2> p,q\) (vô lý vì \(p,q\in\mathbb{P}\) )

-Nếu $p,q$ khác tính chẵn lẻ . Không mất tính tổng quát giả sử \(p\) chẵn $q$ lẻ. Khi đó \(p=2\)

PT trở thành: \(2^q+q^2=r\)

Ta có: \(r=2^q+q^2\equiv (-1)^q+q^2\equiv -1+q^2\pmod 3\) (do q lẻ)

+Nếu \(q=3\Rightarrow r=2^3+3^2=17\in\mathbb{P}\) (thỏa mãn)

+Nếu \(q\neq 3\Rightarrow q\not\vdots 3\) . Khi đó \(q=3k\pm 1\Rightarrow 1-q^2=-9k^2\mp 6k\vdots 3\)

hay \(1-q^2\equiv 0\pmod 3\Leftrightarrow r\equiv 0\pmod 3\Leftrightarrow r\vdots 3\Rightarrow r=3\)

\(q^2=3-2^q<1 \Rightarrow q< 1\) (vô lý)

Vậy \((p,q,r)=(2,3,17); (3,2,17)\)

Đề thiếu,bạn ghi đề mới đi ạ

Thay hướng dẫn tiếp phần b nhé: 

Giả sử cả 3 số p;q;r đều không chia hết cho 3 thế thì p²;q²;r² chia cho 3 chỉ dư 1 ( vì p;q;r nguyên tố)

Suy ra: p² + q² + r² chia hết cho 3 mà p² + q² + r² >3 suy ra p² + q² + r² là hợp số ( mâu thuẫn đề bài).

Vậy điều giả sử là sai suy ra trong 3 số tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3

Không mất tính tổng quat giả sử p<q<r\(\Rightarrow\)p chia hết cho 3 mà p là số nguyên tố suy ra p = 3

Lại có: p;q;r là 3 số nguyên tố liên tiếp nên q = 5; r=7

Vậy (p;q;r) = (3;5;7) và các hoán vị 

b, Giả sử 3 số nguyên tố p, q, r đều không chia hết cho 3 mà một số chính phương chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 

Nếu p^2, q^2, r^2 chia hết cho 3 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia hết cho 3 ( là hợp số, loại )

Nếu p^2, q^2, r^2 cùng chia 3 dư 1 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia hết cho 3 ( loại )

Nếu trong 3 số có 1 số chia hết cho 3 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia 3 dư 2 ( 2 số còn lại chia 3 dư 1 ) loại vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2

Nếu trong 3 số có 1 số chia 3 dư 1 thì p^2 + q^2 + r^2 chia 3 dư 1 ( 2 số còn lại chia hết cho 3 ) chọn

Vậy trong 3 số p , q , r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3

mà p, q, r là các số nguyên tố nên có 1 số nhận giá trị là 3. 

Do 1 ko là số nguyên tố nên bộ ba số nguyên tố có thể là 2 - 3 - 5 hoặc 3 - 5 - 7 

Với 3 số nguyên tố là 2 - 3 - 5 thì p^2 + q^2 + r^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 = 38 ( là hợp số, loại )

Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là 3 5 7 

Nguyễn Vân Huyền đã chọn câu trả lời này

Giả sử có 3 số nguyên là p;q;r sao cho \(p^q+q^p=r\)

Khi đó r > 3 nên r là số lẻ

=> p.q không cùng tính chẵn lẻ

Giả sử p=2 là q là số lẻ khi đó \(2^q+q^2=r\)

Nếu q không chia hết cho 3 thì q^2 =1 (mod3)

Mặt khác vì q lẻ nên \(2^q\)= -1(mod3)

Từ đó suy ra: \(2^q+q^2⋮3\Rightarrow r⋮3\)(vô lí)

Vậy q=3 lúc đó \(r=2^3+3^2=17\)là số nguyên tố

Vậy p=2; q=3, r=17 hoặc p=3; q=2, r=17

3;5;7 nha!

a,

\(\left(n+3\right)⋮\left(n-2\right)\\ \Rightarrow\left(n-2\right)+5⋮\left(n-2\right)\\ \Rightarrow5⋮\left(n-2\right)\\ \Rightarrow\left(n-2\right)\in\left\{{}\begin{matrix}5\\-5\\1\\-1\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow n\in\left\{{}\begin{matrix}7\\-3\\4\\2\end{matrix}\right.\)

vì là số tự nhiên nên

\(n\in\left\{{}\begin{matrix}7\\4\\2\end{matrix}\right.\)

b,

\(\text{ ( 2n + 9 ) ⋮ ( n - 3 )}\\ \Rightarrow2\left(n-3\right)+15⋮\left(n-3\right)\\ \Rightarrow15⋮\left(n-3\right)\\ \Rightarrow\left(n-3\right)\inƯ\left(15\right)=\left\{15;5;3;1;-1;-3;-5;-15\right\}\\ \Rightarrow n\in\left\{18;8;6;4;2;0;-2;-13\right\}\)

vì n là số tự nhiên nên:

\(n\in\left\{18;8;6;4;2;0\right\}\)

Để P là một số nguyên thì

\(6n-3⋮3n+1\)

\(2\left(3n+1\right)-5⋮3n+1\)

Vì \(2\left(3n+1\right)⋮3n+1\)

\(\Rightarrow5⋮3n+1\)\(\Rightarrow3n+1\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

3n+1 -1 -5 1 5

n / -2 0 /

Vậy các số nguyên n cần tìm để \(\dfrac{6n-3}{3n+1}\)là số nguyên là -2;0

Tổng lít nước si-rô và lít nước lọc là :

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{9}{4}\) ( lít )

Rót được số cốc nho là :

\(\dfrac{9}{4}:\dfrac{1}{4}=9\) ( cốc )

Đ/s :....