Lời giải:
a)

$a\equiv 1\pmod 2$ nên $a$ có dạng $2k+1$ $(k\in\mathbb{Z}$

Khi đó:

$a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$

Vì $k(k+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $k(k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow 4k(k+1)\vdots 8$

$\Rightarrow a^2=4k(k+1)+1$ chia $8$ dư $1$ hay $a^2\equiv 1\pmod 8$

b)

$a\equiv 1\pmod 3\Rightarrow a-1\equiv 0\pmod 3(1)$ hay

Lại có:

$a\equiv 1\pmod 3\Rightarrow a^2+a+1\equiv 1+1+1\equiv 0\pmod 3(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow (a-1)(a^2+a+1)\equiv 0\pmod 9$

hay $a^3-1\equiv 0\pmod 9\Leftrightarrow a^3\equiv 1\pmod 9$

không đâu cá tiền luôn 500 đồng lun sợ gì :))))) đùa thui ko có đâu nhé

a) Vì \(\frac{a}{b}>1\Rightarrow a>b\Rightarrow a-b>0\)

Xét hiệu : \(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+ac-ba-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{ac-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}\)

Mà a-b>0 (cmt) suy ra :\(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}>0\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\left(đpcm\right)\)

b) Chứng minh tương tự

2/Cho b,d>0

Chứng minh \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

giải phương trình nghiệm nguyên :
\(\sqrt{x-2008}+\sqrt{y-2009}+\sqrt{z-2010}+3012=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

đặt VT =A đi .thì sử dụng BĐT bunhiacopxki ta có: 
A[a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)] 
>=(a+b+c+d)^2 
giờ ta chỉ cần chứng minh: 
(a+b+c+d)^2>=2a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a... 
điều này <=> với:a^2+b^2+c^2+d^2>=2ac+2bd. 
diều này là hiển nhiên theo BĐT cô-si=>đpcm.MinA=2.

  Cau 1:

Cau 2 : Chịu

\(a^2+b^2=2ab\)

<=>  \(a^2+b^2-2ab=0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2=0\)

<=>   \(a-b=0\)

<=>  \(a=b\)  (đpcm)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

<=>  \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

<=>  \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

<=>   \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

<=>  \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

<=>  \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

Xét:  \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

<=>  \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=>  \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)

<=>  \(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)

<=>  \(a=b=c\)

=>  đpcm