HELP ME!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

giải dài dòng lắm

x=8

y=5

a)Tại \(x=\frac{16}{9}\) ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{\frac{16}{9}}+1}{\sqrt{\frac{16}{9}}-1}=\frac{\frac{4}{3}+1}{\frac{4}{3}-1}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}}=7\)

Tại \(x=\frac{25}{9}\) ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{\frac{25}{9}}+1}{\sqrt{\frac{25}{9}}-1}=\frac{\frac{5}{3}+1}{\frac{5}{3}-1}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}=4\)

b)Khi \(A=5\Rightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=5\)(*)

Đk:\(\sqrt{x}-1\ne0\Rightarrow x\ne1;\sqrt{x}\ge0\Rightarrow x\ge0\)

Đặt \(\sqrt{x}+1=t\left(t\ge0\right)\),(*) trở thành

\(\frac{t}{t-2}=5\Rightarrow t=5\left(t-2\right)\)

\(\Rightarrow t=5t-10\)

\(\Rightarrow2t=5\Rightarrow t=\frac{5}{2}\)(thỏa mãn)

\(t=\frac{5}{2}\Rightarrow\sqrt{x}+1=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\sqrt{x^2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2\Leftrightarrow x=\frac{9}{4}\)(thỏa mãn)

Vậy \(x=\frac{9}{4}\)

Lời giải:

Trước tiên ta sẽ chứng minh một bổ đề: Số chính phương lẻ chia $8$ dư $1$

--------------------

CM: Gọi số chính phương lẻ là $n^2$. Vì $n^2$ lẻ nên $n$ lẻ. Do đó $n$ có dạng $4k\pm 1$

$\Rightarrow n^2=(4k\pm 1)^2=16k^2\pm 8k+1$ chia $8$ dư $1$ (đpcm)

----------------------

Quay trở lại bài toán:
Đặt $a+1=m^2; 2a+1=n^2$ (trong đó $m,n$ là các số tự nhiên)

$\Rightarrow 2m^2=n^2+1$

$\Rightarrow n^2+1\vdots 2\Rightarrow n$ lẻ

$\Rightarrow n^2$ chia $8$ dư $1$

$\Rightarrow 2m^2=n^2+1$ chia $8$ dư $2$

$\Rightarrow m^2$ lẻ

$\Rightarrow a+1=m^2$ chia $8$ dư $1$

$\Rightarrow a\vdots 8(*)$

Mặt khác:

Một số chính phương lẻ khi chia $3$ có dư là $0$ hoặc $1$

Nếu $m^2$ chia hết cho $3$ thì $a+1\vdots 3\Rightarrow a$ chia $3$ dư $2$

$\Rightarrow n^2=2a+1$ chia $3$ dư $2$ (vô lý)

Do đó $m^2=a+1$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**)$ mà $(3,8)=1$ nên $a\vdots 24$

Số $n$ ở đâu ra vậy bạn?

a) Thay \(x=\frac{16}{9}\) vào biểu thức ta có:

\(A=\frac{\sqrt{\frac{16}{9}}+1}{\sqrt{\frac{16}{9}}-1}=\frac{\frac{4}{3}+1}{\frac{4}{3}-1}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}}=7\)

Vậy \(A=7\)

Thay \(x=\frac{25}{9}\) vào biểu thức ta có:

\(A=\frac{\sqrt{\frac{25}{9}}+1}{\sqrt{\frac{25}{9}}-1}=\frac{\frac{5}{3}+1}{\frac{5}{3}-1}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}=4\)

Vậy \(A=4\)