Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
E là trung điểmcủa BC
=>EB=EC=a/2
\(AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
Xét ΔABE vuông tại B có \(\left\{{}\begin{matrix}cosBAE=\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\sinBAE=\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{0.5a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)
=>\(cosDAF=cosBEA=sinBAE=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
\(AF=\dfrac{AE}{2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{4}\)
Xét ΔADF có \(cosDAF=\dfrac{AD^2+AF^2-DF^2}{2\cdot AD\cdot AF}\)
=>\(\dfrac{a^2+a^2\cdot\dfrac{5}{16}-DF^2}{2\cdot\dfrac{a\sqrt{5}}{4}\cdot a}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
=>\(\dfrac{\dfrac{21}{16}a^2-DF^2}{\dfrac{a^2\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
=>\(\dfrac{21}{16}a^2-DF^2=\dfrac{a^2}{2}\)
=>\(DF^2=\dfrac{13}{16}a^2\)
=>\(DF=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}\)
Em coi lại đề
Kẻ AH vuông góc với AB là thấy sai sai rồi đó
Chọn D.
Đặt 
Do AB và AD vuông góc với nhau và AB = AD nên 
Khi đó :
Ta có
Mặt khác
Vậy tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.
ho hình vuông \(A B C D\).
Lấy \(E\) tùy ý trên \(D C\).
Trên cạnh \(B C\) lấy \(F\) sao cho \(E C = F C\).
\(M\) là trung điểm của \(A E\).
\(N\) là trung điểm của \(D C\).
Chứng minh: \(D F \bot M N\).
⭐ Lời giải bằng tọa độ
1. Đặt hệ trục
Đặt hình vuông cạnh \(a\):
Điểm \(E\) nằm trên \(D C\) ⇒ gọi \(E \left(\right. x , a \left.\right)\) với \(0 \leq x \leq a\).
Điểm \(F\) nằm trên \(B C\).
Điều kiện:
\(E C = F C\)
Tính độ dài:
\(E C = a - x\) \(F C = độ\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp}; F \&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp}; C = \sqrt{\left(\right. a - a \left.\right)^{2} + \left(\right. y - a \left.\right)^{2}} = a - y\)
Điều kiện \(E C = F C\):
\(a - x = a - y \Rightarrow y = x\)
Vậy:
2. Tìm M và N
Trung điểm \(M\) của \(A E\):
\(M \left(\right. \frac{0 + x}{2} , \frac{0 + a}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{x}{2} , \frac{a}{2} \left.\right)\)
Trung điểm \(N\) của \(D C\):
\(D \left(\right. 0 , a \left.\right) , \&\text{nbsp}; C \left(\right. a , a \left.\right)\)
\(N \left(\right. \frac{0 + a}{2} , \frac{a + a}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , a \left.\right)\)
3. Tính vectơ DF và MN
Vectơ \(\overset{\rightarrow}{D F}\):
\(\overset{\rightarrow}{D F} = \left(\right. a - 0 , x - a \left.\right) = \left(\right. a , \&\text{nbsp}; x - a \left.\right)\)
Vectơ \(\overset{\rightarrow}{M N}\):
\(\overset{\rightarrow}{M N} = \left(\right. \frac{a}{2} - \frac{x}{2} , \&\text{nbsp}; a - \frac{a}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a - x}{2} , \&\text{nbsp}; \frac{a}{2} \left.\right)\)
4. Tích vô hướng để kiểm tra vuông góc
Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi:
\(\overset{\rightarrow}{D F} \cdot \overset{\rightarrow}{M N} = 0\)
Tính:
\(\left(\right. a , \&\text{nbsp}; x - a \left.\right) \cdot \left(\right. \frac{a - x}{2} , \&\text{nbsp}; \frac{a}{2} \left.\right)\) \(= a \cdot \frac{a - x}{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. x - a \left.\right) \cdot \frac{a}{2}\)
Tách ra:
\(= \frac{a \left(\right. a - x \left.\right)}{2} + \frac{a \left(\right. x - a \left.\right)}{2}\)
Nhận thấy hai số hạng đối nhau:
\(= \frac{a \left(\right. a - x + x - a \left.\right)}{2} = 0\)
🎉 Kết luận
\(\overset{\rightarrow}{D F} \cdot \overset{\rightarrow}{M N} = 0 \Rightarrow D F \bot M N\)
Điều phải chứng minh.