Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Gọi E là trung điểm của KC
=>AK=KE=EC
Xét ΔBKC có CM/CB=CE/CK
nên ME//BK
Xét ΔAME có AI/AM=AK/AE
nên IK//ME
=>IK//BK
=>B,I,K thẳng hàng
A B C D I M
a)
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\).
b)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{BC}\)\(=\overrightarrow{AB}+x\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(1-x\right)\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}\).
c) A, M, I thẳng hàng khi và chỉ khi hai véc tơ \(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AI}\) cùng phương
hay \(\dfrac{1-x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{x}{\dfrac{3}{8}}\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\left(1-x\right)=\dfrac{1}{2}x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{8}x=\dfrac{3}{8}\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{7}\).
A B C D I K
a)
- \(\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\) (t/c trung điểm)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)
- \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)
\(=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}\)
=> B,K,I thẳng hàng
c) \(27\overrightarrow{MA}-8\overrightarrow{MB}=2015\overrightarrow{MC}\)
\(\Leftrightarrow27\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}\right)-8\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}\right)=2015\overrightarrow{MC}\)
\(\Leftrightarrow27\overrightarrow{MC}+27\overrightarrow{CA}-8\overrightarrow{MC}-8\overrightarrow{CB}-2015\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow-1996\overrightarrow{MC}+27\overrightarrow{CA}-8\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow1996\overrightarrow{CM}=8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CM}=\frac{8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}}{1996}\)
Vậy: Dựng điểm M sao cho \(\overrightarrow{CM}=\frac{8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}}{1996}\)
\(\overrightarrow{AJ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AK}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\frac{3}{4}\\n=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}\left(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(1\right)\)\(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{4}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{4}\left(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(2\right)\)từ (1) và (2) -> \(\overrightarrow{BK}và\overrightarrow{BI}\) cùng phương -> B,K,I thẳng hàng
Tốt — ta giải bằng tọa độ vectơ (lấy \(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0}\) để gọn).
Gọi \(\overset{⃗}{B} = \mathbf{b} , \textrm{ }\textrm{ } \overset{⃗}{C} = \mathbf{c}\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\) nên \(\overset{⃗}{M} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2}\).
Vì \(I\) nằm trên \(A M\) với \(\overset{\rightarrow}{A I} = \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A M}\), nên
\(\overset{⃗}{I} = \frac{1}{3} \overset{⃗}{M} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{6} .\)
a) Với \(F \in A C\) và \(\overset{\rightarrow}{A F} = \frac{2}{7} \overset{\rightarrow}{A C}\) ta có \(\overset{⃗}{F} = \frac{2}{7} \mathbf{c}\).
Kiểm tra thẳng hàng \(B , I , F\): cần tồn tại \(t\) sao cho \(\overset{⃗}{I} - \mathbf{b} = t \left(\right. \overset{⃗}{F} - \mathbf{b} \left.\right)\).
Tính
\(\overset{⃗}{I} - \mathbf{b} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{6} - \mathbf{b} = \frac{- 5 \mathbf{b} + \mathbf{c}}{6} , \overset{⃗}{F} - \mathbf{b} = \frac{2}{7} \mathbf{c} - \mathbf{b} = - \mathbf{b} + \frac{2}{7} \mathbf{c} .\)
Nếu có \(t\) thì hệ số trước \(\mathbf{b}\) và \(\mathbf{c}\) phải tương ứng:
\(- \frac{5}{6} = - t \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; t = \frac{5}{6} ,\)
nhưng hệ số trước \(\mathbf{c}\) bên phải là \(\frac{2}{7} t = \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}\), trong khi bên trái là \(\frac{1}{6} = \frac{7}{42}\). Chúng không bằng nhau, nên không tồn tại \(t\).
Vậy B, I, F không thẳng hàng.
b) Với \(K \in A C\) và \(\overset{\rightarrow}{A K} = x \overset{\rightarrow}{A C}\) ta có \(\overset{⃗}{K} = x \mathbf{c}\). Tương tự cần \(t\) sao cho
\(\overset{⃗}{I} - \mathbf{b} = t \left(\right. \overset{⃗}{K} - \mathbf{b} \left.\right) = t \left(\right. - \mathbf{b} + x \mathbf{c} \left.\right) .\)
So sánh hệ số:
\(- \frac{5}{6} = - t \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; t = \frac{5}{6} ,\)
và
\(\frac{1}{6} = t \cdot x = \frac{5}{6} \textrm{ } x \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; x = \frac{1 / 6}{5 / 6} = \frac{1}{5} .\)
Vậy khi \(x = \frac{1}{5}\) (tức \(A K = \frac{1}{5} A C\), hay \(A K : K C = 1 : 4\)) thì \(B , I , K\) thẳng hàng.
Tóm tắt: a) không thẳng hàng; b) \(x = \frac{1}{5}\).
a) Chọn tọa độ \(A = 0\), \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{B}\), \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{C}\)
\(\overset{⃗}{A I} = \frac{1}{6} \overset{⃗}{A B} + \frac{1}{6} \overset{⃗}{A C} , \overset{⃗}{A F} = \frac{2}{7} \overset{⃗}{A C}\)\(\overset{⃗}{I B}\) và \(\overset{⃗}{I F}\) không cùng phương ⇒ B, I, F không thẳng hàng.
b) \(K \in A C : \overset{⃗}{A K} = x \overset{⃗}{A C}\)
Thẳng hàng \(\Rightarrow x = \frac{1}{5}\).
a: \(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}\)
\(=-\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=-\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{AC}=-\frac56\cdot\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{AC}=-\frac16\cdot\left(5\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=-\frac56\left(\overrightarrow{AB}-\frac15\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AB}+\frac27\cdot\overrightarrow{AC}\)
=>B,I,F không thẳng hàng được
b: \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AB}+k\cdot\overrightarrow{AC}=-\left(\overrightarrow{AB}-k\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)
Để B,I,K thẳng hàng thì \(k=\frac15\)