Câu 1:

Ta sẽ chỉ ra rằng một số lập phương \(a^3\) chia 7 chỉ có thể có dư là 0,1,6

Thật vậy:

Nếu \(a\equiv 0\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 0\pmod 7\)

Nếu \(a\equiv 1\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 1\pmod 7\)

Nếu \(a\equiv 2\mod 7\Rightarrow a^3\equiv 2^3\equiv 1\pmod 7\)

Nếu \(a\equiv 3\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 3^3\equiv 6\pmod 7\)

Nếu \(a\equiv 4\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 4^3\equiv 1\pmod 7\)

Nếu \(a\equiv 5\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 5^3\equiv 6\pmod 7\)

Nếu \(a\equiv 6\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 6^3\equiv (-1)^3\equiv 6\pmod 7\)

Do đó một số lập phương chia cho 7 luôn có dư là 0,1,6

Mà \(2016n+3=7.288n+3\) chia 7 dư 3

Do đó A không thể là số lập phương với mọi n

Vậy không tồn tại n thỏa mãn.

Bài 2:

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\geq b\geq c\)

Để A là số nguyên thì \((ab-1)(bc-1)(ca-1)\vdots abc\)

\(\Leftrightarrow (ab^2c-ab-bc+1)(ac-1)\vdots abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ac-1\vdots abc\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac-1\vdots abc\)

Đặt \(ab+bc+ac-1=kabc\Rightarrow k=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1+1+1\)

\(\Leftrightarrow k< 3\Rightarrow k\in\left\{1;2\right\}\)

TH1 : $k=1$

Thay vào : \(ab+bc+ac-1=abc\Leftrightarrow 1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\)

Theo giả sử suy ra \(\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow 1\leq \frac{3}{c}-\frac{1}{abc}< \frac{3}{c}\Rightarrow c<3 \Rightarrow c\in\left\{1;2\right\}\)

+) \(c=1\Rightarrow ab+a+b-1=ab\Leftrightarrow a+b=1\) (vô lý vì \(a\geq b\geq 1\) )

+) \(c=2\Rightarrow ab+2a+2b-1=2ab\Leftrightarrow 2a+2b-1=ab\)

\(\Leftrightarrow (a-2)(b-2)=3\) (1)

Vì \(a\geq b\geq c\geq 2\Rightarrow a-2\geq b-2\geq 0\) (2)

(1),(2) suy ra \(\left\{\begin{matrix} a-2=3\\ b-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\ b=3\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn)

TH2: $k=2$

Thay vào: \(ab+bc+ac-1=2abc\Leftrightarrow 2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\)

\(\Rightarrow 2\leq \frac{3}{c}-\frac{1}{abc}< \frac{3}{c}\Rightarrow c< \frac{3}{2}\)

Do đó \(c=1\Rightarrow ab+a+b-1=2ab\)

\(\Leftrightarrow a+b-1=ab\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=0\)

+) Nếu \(a=1\Rightarrow b\leq a=1\Rightarrow b=1\)

+) Nếu $b=1$ thì $a$ là số tự nhiên tùy ý lớn hơn hoặc bằng 1

Vậy \((a,b,c)=(5;3;2)\) và hoán vị, hoặc \((a,b,c)=(k,1,1)\) và hoán vị với \(k\in\mathbb{N}^*\) tùy ý.

\(b,\left|2x-1\right|-x=1\\ \Leftrightarrow\left|2x-1\right|=1+x\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=1+x\\2x-1=-1-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\x=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{2;-\dfrac{2}{3}\right\}\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow a=bk;c=dk\)

\(\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{bk+b}{bk}=\dfrac{b\left(k+1\right)}{bk}=\dfrac{k+1}{k}\)

\(\dfrac{c+d}{c}=\dfrac{dk+d}{dk}=\dfrac{d\left(k+1\right)}{dk}=\dfrac{k+1}{k}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{c}\rightarrowđpcm\)

\(\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{bk-b}{bk}=\dfrac{b\left(k-1\right)}{bk}=\dfrac{k-1}{k}\)

\(\dfrac{c-d}{c}=\dfrac{dk-d}{dk}=\dfrac{d\left(k-1\right)}{dk}=\dfrac{k-1}{k}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\rightarrowđpcm\)

\(\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{bk}{bk+b}=\dfrac{bk}{b\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)

\(\dfrac{c}{c+d}=\dfrac{dk}{dk+d}=\dfrac{dk}{d\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d}\rightarrowđpcm\)

\(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{bk}{b\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\)

\(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{dk}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\rightarrowđpcm\)