a) Ta có cơ số  \(a=0,3<1\) và \(3,15>\pi>\frac{2}{3}>0,5\)

Nên thứ tự tăng dần là :

\(0,3^{3,15};0,3^{\pi};0,3^{\frac{2}{3}};0,3^{0,5}\)

b) Vì số mũ \(\pi>0\) nên hàm số lũy thừa \(y=x^{\pi}\) luôn đồng biến. Mặt khác :

\(\frac{1}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}<1,8<\pi\)

Nên thứ tự tăng dần là :

\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\pi};\sqrt{2^{\pi}};1,8^{\pi};\pi^{\pi}\)

\(y=x+sin\left(2x\right)\)

\(y'=1+2cos\left(2x\right)\)

\(y'=0\Leftrightarrow1+cos\left(2x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\pi}{3}\\x=\frac{2\pi}{3}\end{cases}}\)vì \(x\in\left(0,\pi\right)\).

\(y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2},y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(y\left(\frac{\pi}{3}\right)>y\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)ta chọn D. 

\(\frac{1}{1+tanx}=\frac{cosx}{cosx+sinx}=\frac{1}{2}\left(\frac{cosx+sinx}{cosx+sinx}+\frac{-sinx+cosx}{cosx+sinx}\right)\)

\(\Rightarrow\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{1+tanx}dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(1+\frac{-sinx+cosx}{cosx+sinx}\right)dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{d\left(cosx+sinx\right)}{cosx+sinx}\)

\(=\frac{1}{2}x|^{\frac{\pi}{4}}_0+\frac{1}{2}ln\left(sinx+cosx\right)|^{\frac{\pi}{4}}_0=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}ln\sqrt{2}=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}ln2\)

\(\Rightarrow a=\frac{1}{8}\) ; \(b=\frac{1}{4}\)

Chọn B

B. nhận điểm \(x=\dfrac{-5\pi}{12}\) làm điểm cực tiểu

Đặt \(cotx=t\Rightarrow\) khi x chạy từ \(\dfrac{\pi}{4}\rightarrow\dfrac{\pi}{2}\) thì \(t\) chạy từ 1 về 0

Do đó, nếu \(f\left(x\right)\) đồng biến thì \(f\left(t\right)=\dfrac{2t+1}{t+m}\) nghịch biến trên \(\left(0;1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-1< 0\\\left[{}\begin{matrix}-m< 0\\-m>1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{1}{2}\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Hàm \(f\left(t\right)\) là hàm bậc nhất trên bậc nhất nên nó nghịch biến khi ad-bc<0

Hơn nữa, 1 điều cần rất chú ý trong loại toán tìm khoảng (a;b) nghịch biến cho hàm bậc nhất trên bậc nhất là là nghiệm của phương trình "mẫu thức = 0" cần né khoảng này ra. Ví dụ, để hàm \(f\left(t\right)\) đồng biến trên (0;1) thì trước hết nó phải liên tục, ko bị gián đoạn trên đoạn này

Mà pt mẫu \(t+m=0\) có nghiệm \(t=-m\)

Nên \(-m\) phải nằm ngoài khoảng \(\left(0;1\right)\) tức \(-m< 0\) hoặc \(-m>1\)

Bạn hiểu chưa ạ?

Trên đoạn \(\left[\frac{-\pi}{2};\pi\right]\)? Bạn ghi đoạn mà lại dùng kí hiệu khoảng làm mình hơi hoang mang.

\(y'=1-2cos2x\)

\(y'=0\Rightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{-\pi}{6}+k\pi\end{matrix}\right.\)

Do \(x\in\left[\frac{-\pi}{2};\pi\right]\Rightarrow x=\left[{}\begin{matrix}\frac{-\pi}{6}\\\frac{\pi}{6}\\\frac{5\pi}{6}\end{matrix}\right.\)

Ta có \(y\left(\frac{-\pi}{2}\right)=\frac{-\pi}{2};y\left(\frac{-\pi}{6}\right)=\frac{-\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2};y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(y\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2};y\left(\pi\right)=\pi\)

So sánh các giá trị trên ta thấy \(y_{min}=y\left(\frac{-\pi}{6}\right)=\frac{-\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)