Câu hỏi của NGUYỄN TRẦN KHÔI NGUYÊN

Question

Bài 3 (4 điểm). Cho ΔMAB nhọn có MA < MB. Trên cạnh MB lấy điểm C để MA = MC.
Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh...

Duc Nguyen · Accepted Answer

Lời giải: Để chứng minh ba điểm M, E, H thẳng hàng, ta sẽ chứng minh tia ME và tia EH là hai tia đối nhau. Điều này tương đương với việc chứng minh ∠MEA+∠AEH=180∘angle cap M cap E cap A plus angle cap A cap E cap H equals 180 raised to the composed with power∠𝑀𝐸𝐴+∠𝐴𝐸𝐻=180∘ hoặc chứng minh ∠MEH=180∘angle cap M cap E cap H equals 180 raised to the composed with power∠𝑀𝐸𝐻=180∘ thông qua các góc khác. Dựa vào các dữ kiện đã cho và kết quả của câu b) (ΔAEF = ΔCEB), ta có:

ΔAEF = ΔCEB suy ra AF=CBcap A cap F equals cap C cap B𝐴𝐹=𝐶𝐵 và ∠AFE=∠CBEangle cap A cap F cap E equals angle cap C cap B cap E∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐶𝐵𝐸.
MA=MCcap M cap A equals cap M cap C𝑀𝐴=𝑀𝐶 (giả thiết)
AC=ACcap A cap C equals cap A cap C𝐴𝐶=𝐴𝐶 (cạnh chung)
∠MAC=∠MCAangle cap M cap A cap C equals angle cap M cap C cap A∠𝑀𝐴𝐶=∠𝑀𝐶𝐴 (do ΔMAC cân tại M)
Do đó, ΔMAC cân tại M.

Vì ME là tia phân giác của ∠AMBangle cap A cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵, ta có ∠AME=∠BMEangle cap A cap M cap E equals angle cap B cap M cap E∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐵𝑀𝐸. Ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác để chứng minh sự thẳng hàng. Xét đường trung tuyến và trọng tâm.

Trong ΔFCB, E là điểm trên cạnh FC (vì F, E, C thẳng hàng) và H là trung điểm của FB. Điều này có vẻ không đủ để kết luận gì về điểm E.
Tuy nhiên, ta đã biết ∠AMB=∠CMBangle cap A cap M cap B equals angle cap C cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑀𝐵. Trong ΔCMB, ta có một đường trung tuyến... không, không phải.

Hãy sử dụng cách đơn giản nhất là dựa vào các tính chất của đường trung bình trong tam giác.

Xét ΔFBC:
- H là trung điểm của cạnh FB (theo giả thiết).
- Ta cần tìm một đường trung tuyến khác hoặc một điểm đặc biệt để liên kết với E.
Xét ΔFAB:
- H là trung điểm của FB.
- Gọi K là trung điểm của FA. Khi đó, HK là đường trung bình của ΔFAB, nên HK//ABcap H cap K / / cap A cap B𝐻𝐾//𝐴𝐵 và HK=12ABcap H cap K equals one-half cap A cap B𝐻𝐾=12𝐴𝐵.
Xét ΔACB:
- ...
Sử dụng kết quả câu b): ΔAEF = ΔCEB
- Do ΔAEF = ΔCEB (chứng minh ở câu b), ta có AF=CBcap A cap F equals cap C cap B𝐴𝐹=𝐶𝐵 và ∠FAE=∠BCEangle cap F cap A cap E equals angle cap B cap C cap E∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐸.
- EA=ECcap E cap A equals cap E cap C𝐸𝐴=𝐸𝐶 (giả thiết).
Áp dụng định lý đảo của định lý Thales:
- Trong ΔABF, H là trung điểm của FB.
- Trong ΔCBF, E nằm trên cạnh CF, và H là trung điểm của FB. Nếu ta có EH//CBcap E cap H / / cap C cap B𝐸𝐻//𝐶𝐵 thì M, E, H có thể thẳng hàng.
Sử dụng tiên đề Euclid về đường thẳng duy nhất:
- Ta chứng minh rằng đường thẳng ME và đường thẳng EH cùng đi qua điểm E và cùng song song với một đường thẳng khác.
- Hoặc chứng minh rằng ME và EH cùng vuông góc với một đường thẳng.
Sử dụng phép biến hình (đối xứng tâm, tịnh tiến):
- Gọi I là trung điểm của AB. Trong ΔAMB, MI là đường trung tuyến.
- Gọi J là trung điểm của MB. Trong ΔAMB, AJ là đường trung tuyến.
Trở lại phương pháp chứng minh ∠MEH=180∘angle cap M cap E cap H equals 180 raised to the composed with power∠𝑀𝐸𝐻=180∘:
- Ta đã có ∠AME=∠BMEangle cap A cap M cap E equals angle cap B cap M cap E∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐵𝑀𝐸.
- Ta cần chứng minh E, H, M thẳng hàng.
- Xét ΔFMB, H là trung điểm của FB. E nằm trên FM.
- Lấy điểm D sao cho E là trung điểm của MD. Khi đó, tứ giác MDBF là hình bình hành, suy ra MD//FBcap M cap D / / cap F cap B𝑀𝐷//𝐹𝐵 và MD=FBcap M cap D equals cap F cap B𝑀𝐷=𝐹𝐵.
- Không, cách này không hợp lý.
Cách tiếp cận chính xác:
- Ta sẽ chứng minh hai đường thẳng ME và MH cùng là đường phân giác của một góc nào đó hoặc cùng là đường trung tuyến của một tam giác nào đó.
- Trong ΔABF, H là trung điểm của FB.
- Trong ΔAFB, ME cắt AB tại E và MF tại F, MB tại B.
- Vì ∠AME=∠BMEangle cap A cap M cap E equals angle cap B cap M cap E∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐵𝑀𝐸, nên ME là đường phân giác của ∠AMBangle cap A cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵.
- Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: AEEB=MAMBthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap M cap A and denominator cap M cap B end-fraction𝐴𝐸𝐸𝐵=𝑀𝐴𝑀𝐵.
- Xét ΔFMB, ta có đường trung tuyến MH.
- Áp dụng định lý Menelaus cho ΔAFB với đường thẳng M-E-H.
- - Điểm M nằm trên đường thẳng chứa AF (do M, F, A thẳng hàng).
  - Điểm E nằm trên đường thẳng AB.
  - Điểm H nằm trên đường thẳng BF.
- Để M, E, H thẳng hàng, ta phải chứng minh: MAAF⋅FEEB⋅BHHM=1the fraction with numerator cap M cap A and denominator cap A cap F end-fraction center dot the fraction with numerator cap F cap E and denominator cap E cap B end-fraction center dot the fraction with numerator cap B cap H and denominator cap H cap M end-fraction equals 1𝑀𝐴𝐴𝐹⋅𝐹𝐸𝐸𝐵⋅𝐵𝐻𝐻𝑀=1(không chính xác, phải là MAMF⋅FEEC⋅CHCB=1the fraction with numerator cap M cap A and denominator cap M cap F end-fraction center dot the fraction with numerator cap F cap E and denominator cap E cap C end-fraction center dot the fraction with numerator cap C cap H and denominator cap C cap B end-fraction equals 1𝑀𝐴𝑀𝐹⋅𝐹𝐸𝐸𝐶⋅𝐶𝐻𝐶𝐵=1...).
- Định lý Menelaus cho ΔABF với cát tuyến M-E-H phải là AMMF⋅FEEB⋅BHHA=1the fraction with numerator cap A cap M and denominator cap M cap F end-fraction center dot the fraction with numerator cap F cap E and denominator cap E cap B end-fraction center dot the fraction with numerator cap B cap H and denominator cap H cap A end-fraction equals 1𝐴𝑀𝑀𝐹⋅𝐹𝐸𝐸𝐵⋅𝐵𝐻𝐻𝐴=1.
- - Đây là một cách tiếp cận phức tạp và có thể không phải là cách người ra đề mong muốn.
- Cách đơn giản hơn:
- - Gọi N là trung điểm của AB. Trong ΔABF, N và H là trung điểm của AB và FB, do đó NH là đường trung bình, NH//AFcap N cap H / / cap A cap F𝑁𝐻//𝐴𝐹 và NH=12AFcap N cap H equals one-half cap A cap F𝑁𝐻=12𝐴𝐹.
  - Từ ΔAEF = ΔCEB, ta có AF=CBcap A cap F equals cap C cap B𝐴𝐹=𝐶𝐵.
  - Do đó NH=12CBcap N cap H equals one-half cap C cap B𝑁𝐻=12𝐶𝐵.
  - Gọi P là trung điểm của BC. Trong ΔFBC, HP là đường trung bình, nên HP//FCcap H cap P / / cap F cap C𝐻𝑃//𝐹𝐶 và HP=12FCcap H cap P equals one-half cap F cap C𝐻𝑃=12𝐹𝐶.
  - Tất cả các hướng này đều không đưa đến một kết luận trực tiếp.
- Áp dụng định lý Ceva cho ΔAFB và điểm M, E, H:
- - Ceva cho đường đồng quy tại M: ...point point point...
- Ta sẽ sử dụng cách chứng minh dựa vào một tính chất đã biết:
- - ME là tia phân giác của ∠AMBangle cap A cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵.
  - Do ΔAEF = ΔCEB, ta có

Câu trả lời: Lời giải: Để chứng minh ba điểm M, E, H thẳng hàng, ta sẽ chứng minh tia ME và tia EH là hai tia đối nhau. Điều này tương đương với việc chứng minh ∠MEA+∠AEH=180∘angle cap M cap E cap A plus angle cap A cap E cap H equals 180 raised to the composed with power∠𝑀𝐸𝐴+∠𝐴𝐸𝐻=180∘ hoặc chứng minh ∠MEH=180∘angle cap M cap E cap H equals 180 raised to the composed with power∠𝑀𝐸𝐻=180∘ thông qua các góc khác. Dựa vào các dữ kiện đã cho và kết quả của câu b) (ΔAEF = ΔCEB), ta có:

ΔAEF = ΔCEB suy ra AF=CBcap A cap F equals cap C cap B𝐴𝐹=𝐶𝐵 và ∠AFE=∠CBEangle cap A cap F cap E equals angle cap C cap B cap E∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐶𝐵𝐸.
MA=MCcap M cap A equals cap M cap C𝑀𝐴=𝑀𝐶 (giả thiết)
AC=ACcap A cap C equals cap A cap C𝐴𝐶=𝐴𝐶 (cạnh chung)
∠MAC=∠MCAangle cap M cap A cap C equals angle cap M cap C cap A∠𝑀𝐴𝐶=∠𝑀𝐶𝐴 (do ΔMAC cân tại M)
Do đó, ΔMAC cân tại M.

Vì ME là tia phân giác của ∠AMBangle cap A cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵, ta có ∠AME=∠BMEangle cap A cap M cap E equals angle cap B cap M cap E∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐵𝑀𝐸. Ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác để chứng minh sự thẳng hàng. Xét đường trung tuyến và trọng tâm.

Trong ΔFCB, E là điểm trên cạnh FC (vì F, E, C thẳng hàng) và H là trung điểm của FB. Điều này có vẻ không đủ để kết luận gì về điểm E.
Tuy nhiên, ta đã biết ∠AMB=∠CMBangle cap A cap M cap B equals angle cap C cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑀𝐵. Trong ΔCMB, ta có một đường trung tuyến... không, không phải.

Hãy sử dụng cách đơn giản nhất là dựa vào các tính chất của đường trung bình trong tam giác.

Xét ΔFBC:
- H là trung điểm của cạnh FB (theo giả thiết).
- Ta cần tìm một đường trung tuyến khác hoặc một điểm đặc biệt để liên kết với E.
Xét ΔFAB:
- H là trung điểm của FB.
- Gọi K là trung điểm của FA. Khi đó, HK là đường trung bình của ΔFAB, nên HK//ABcap H cap K / / cap A cap B𝐻𝐾//𝐴𝐵 và HK=12ABcap H cap K equals one-half cap A cap B𝐻𝐾=12𝐴𝐵.
Xét ΔACB:
- ...
Sử dụng kết quả câu b): ΔAEF = ΔCEB
- Do ΔAEF = ΔCEB (chứng minh ở câu b), ta có AF=CBcap A cap F equals cap C cap B𝐴𝐹=𝐶𝐵 và ∠FAE=∠BCEangle cap F cap A cap E equals angle cap B cap C cap E∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐸.
- EA=ECcap E cap A equals cap E cap C𝐸𝐴=𝐸𝐶 (giả thiết).
Áp dụng định lý đảo của định lý Thales:
- Trong ΔABF, H là trung điểm của FB.
- Trong ΔCBF, E nằm trên cạnh CF, và H là trung điểm của FB. Nếu ta có EH//CBcap E cap H / / cap C cap B𝐸𝐻//𝐶𝐵 thì M, E, H có thể thẳng hàng.
Sử dụng tiên đề Euclid về đường thẳng duy nhất:
- Ta chứng minh rằng đường thẳng ME và đường thẳng EH cùng đi qua điểm E và cùng song song với một đường thẳng khác.
- Hoặc chứng minh rằng ME và EH cùng vuông góc với một đường thẳng.
Sử dụng phép biến hình (đối xứng tâm, tịnh tiến):
- Gọi I là trung điểm của AB. Trong ΔAMB, MI là đường trung tuyến.
- Gọi J là trung điểm của MB. Trong ΔAMB, AJ là đường trung tuyến.
Trở lại phương pháp chứng minh ∠MEH=180∘angle cap M cap E cap H equals 180 raised to the composed with power∠𝑀𝐸𝐻=180∘:
- Ta đã có ∠AME=∠BMEangle cap A cap M cap E equals angle cap B cap M cap E∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐵𝑀𝐸.
- Ta cần chứng minh E, H, M thẳng hàng.
- Xét ΔFMB, H là trung điểm của FB. E nằm trên FM.
- Lấy điểm D sao cho E là trung điểm của MD. Khi đó, tứ giác MDBF là hình bình hành, suy ra MD//FBcap M cap D / / cap F cap B𝑀𝐷//𝐹𝐵 và MD=FBcap M cap D equals cap F cap B𝑀𝐷=𝐹𝐵.
- Không, cách này không hợp lý.
Cách tiếp cận chính xác:
- Ta sẽ chứng minh hai đường thẳng ME và MH cùng là đường phân giác của một góc nào đó hoặc cùng là đường trung tuyến của một tam giác nào đó.
- Trong ΔABF, H là trung điểm của FB.
- Trong ΔAFB, ME cắt AB tại E và MF tại F, MB tại B.
- Vì ∠AME=∠BMEangle cap A cap M cap E equals angle cap B cap M cap E∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐵𝑀𝐸, nên ME là đường phân giác của ∠AMBangle cap A cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵.
- Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: AEEB=MAMBthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap M cap A and denominator cap M cap B end-fraction𝐴𝐸𝐸𝐵=𝑀𝐴𝑀𝐵.
- Xét ΔFMB, ta có đường trung tuyến MH.
- Áp dụng định lý Menelaus cho ΔAFB với đường thẳng M-E-H.
- - Điểm M nằm trên đường thẳng chứa AF (do M, F, A thẳng hàng).
  - Điểm E nằm trên đường thẳng AB.
  - Điểm H nằm trên đường thẳng BF.
- Để M, E, H thẳng hàng, ta phải chứng minh: MAAF⋅FEEB⋅BHHM=1the fraction with numerator cap M cap A and denominator cap A cap F end-fraction center dot the fraction with numerator cap F cap E and denominator cap E cap B end-fraction center dot the fraction with numerator cap B cap H and denominator cap H cap M end-fraction equals 1𝑀𝐴𝐴𝐹⋅𝐹𝐸𝐸𝐵⋅𝐵𝐻𝐻𝑀=1(không chính xác, phải là MAMF⋅FEEC⋅CHCB=1the fraction with numerator cap M cap A and denominator cap M cap F end-fraction center dot the fraction with numerator cap F cap E and denominator cap E cap C end-fraction center dot the fraction with numerator cap C cap H and denominator cap C cap B end-fraction equals 1𝑀𝐴𝑀𝐹⋅𝐹𝐸𝐸𝐶⋅𝐶𝐻𝐶𝐵=1...).
- Định lý Menelaus cho ΔABF với cát tuyến M-E-H phải là AMMF⋅FEEB⋅BHHA=1the fraction with numerator cap A cap M and denominator cap M cap F end-fraction center dot the fraction with numerator cap F cap E and denominator cap E cap B end-fraction center dot the fraction with numerator cap B cap H and denominator cap H cap A end-fraction equals 1𝐴𝑀𝑀𝐹⋅𝐹𝐸𝐸𝐵⋅𝐵𝐻𝐻𝐴=1.
- - Đây là một cách tiếp cận phức tạp và có thể không phải là cách người ra đề mong muốn.
- Cách đơn giản hơn:
- - Gọi N là trung điểm của AB. Trong ΔABF, N và H là trung điểm của AB và FB, do đó NH là đường trung bình, NH//AFcap N cap H / / cap A cap F𝑁𝐻//𝐴𝐹 và NH=12AFcap N cap H equals one-half cap A cap F𝑁𝐻=12𝐴𝐹.
  - Từ ΔAEF = ΔCEB, ta có AF=CBcap A cap F equals cap C cap B𝐴𝐹=𝐶𝐵.
  - Do đó NH=12CBcap N cap H equals one-half cap C cap B𝑁𝐻=12𝐶𝐵.
  - Gọi P là trung điểm của BC. Trong ΔFBC, HP là đường trung bình, nên HP//FCcap H cap P / / cap F cap C𝐻𝑃//𝐹𝐶 và HP=12FCcap H cap P equals one-half cap F cap C𝐻𝑃=12𝐹𝐶.
  - Tất cả các hướng này đều không đưa đến một kết luận trực tiếp.
- Áp dụng định lý Ceva cho ΔAFB và điểm M, E, H:
- - Ceva cho đường đồng quy tại M: ...point point point...
- Ta sẽ sử dụng cách chứng minh dựa vào một tính chất đã biết:
- - ME là tia phân giác của ∠AMBangle cap A cap M cap B∠𝐴𝑀𝐵.
  - Do ΔAEF = ΔCEB, ta có

Giáp Nam Phong✅ · Answer

nhìn không muốn đọc luôn

Câu trả lời:

nhìn không muốn đọc luôn

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP