Ta có: AI⊥BD

CK⊥BD

Do đó: AI//CK

Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AI//CK

Do đó: AKCI là hình bình hành

=>AI=CK và AK=CI

Ta có: AK+KB=AB

CI+ID=CD

mà AK=CI và AB=AD

nên KB=ID

Xét ΔKFB vuông tại F và ΔIED vuông tại E có

KB=ID

\(\hat{KBF}=\hat{IDE}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔKFB=ΔIED

=>BF=DE

1. Nhận xét đầu tiên

• Vì \(A E \bot B D\), \(C F \bot B D\) nên \(A E , C F\) cùng vuông góc với \(B D\).
  👉 Suy ra \(A E \parallel C F\).
• Mà trong hình bình hành: \(A B \parallel C D\).
  👉 Vậy \(A E \parallel C F\) và chúng lại cắt \(A B , C D\). Điều này gợi ý tính chất đối xứng.

2. Xét tính chất để tìm ra hình đặc biệt

Trong hình bình hành, nếu từ hai đỉnh đối diện kẻ đường vuông góc tới đường chéo kia mà song song với nhau, thì hình bình hành này thường có tính đối xứng qua trung điểm đường chéo.
👉 Dễ đoán: \(A B C D\) là hình thoi.

Lý do: Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc và là trục đối xứng, nên việc kẻ vuông góc từ đỉnh xuống chéo sẽ tạo ra các đoạn đối xứng nhau.

3. Chứng minh chi tiết

• Vì \(A E \bot B D\), \(C F \bot B D\). Nên \(A E \parallel C F\).
• Mà \(A B \parallel C D\).
• Xét tứ giác \(A I C K\): có \(A I \parallel C K\) và \(I K \parallel A C\).
  👉 Tứ giác \(A I K C\) là hình bình hành.
  Trong hình bình hành này, \(A I = C K\). ✔
• Tương tự, vì đối xứng qua \(B D\), ta có \(D E = B F\). ✔
• Ngoài ra, do sự đối xứng này, \(A B = B C = C D = D A\).
  👉 Vậy \(A B C D\) chính là hình thoi. ✔

✅ Kết quả cuối cùng:

1. \(A B C D\) là hình thoi.
2. \(A I = C K\).
3. \(D E = B F\).
4. tham khảo

Xét n^2+n+1 = n^2+n+n+1-n = n.(n+1) + (n+1) - n = (n+1).(n+1) - n = (n+1)^2 - n ( KO là số chính phương )

( ^ là dấu mũ ; . là dấu nhân nhé bạn ) 

2/a. Có: E là trung điểm của AB(gt) => AE=1/2.AB 
F là trung điểm của CD(gt) => CF=1/2.CD 
Mà AB=CD (vì ABCD là hình bình hành và AB, CD là hai cạch đối nhau) 
=> AE=CF 
Lại có AB//CD (vì ABCD là hình bình hành và AB, CD là hai cạch đối nhau) 
=> AE//CF (vì E thuộc AB, F thuộc CD) 
Tứ giác AECF có: AE=CF (cmt) và AE//CF (cmt) 
=> AECF là hình bình hành 
b. Tam giác DCN có: F là trung điểm của CD(gt) và FM//CN (vì M thuộc AF, N thuộc CE và AF//CE) 
=> M là trung điểm của DN (định lí 1 của bài đường trung bình của tam giác) 
=> DM=MN (a) 
Tam giác ABM có: E là trung điểm của AB(gt) và AM//EN (vì M thuộc AF, N thuộc CE và AF//CE) 
=> N là trung điểm của MB 
=> MN=NB (b) 
Từ (a) và (b) => DM=MN=NB 

hình như bạn làm lộn rồi bạn ơi 

\(a.\dfrac{2x-1}{x-1}+\dfrac{x}{x^2-3x+2}=\dfrac{6x-2}{x-2}\left(x\ne2;x\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2x-1\right)\left(x-2\right)+x}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\dfrac{\left(6x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4x-x+2+x=6x^2-6x-2x+2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5x+2=6x^2-8x+2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(4x-3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=\dfrac{3}{4}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

KL........

\(b.A=\sqrt{x^2-x+1\dfrac{1}{4}}-2016=\sqrt{x^2-2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+1}-2016=\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+1}-2016\ge1-2016=-2015\)

\(\Rightarrow A_{Min}=-2015."="\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

ĐK: a \(\ne\) 0

BPT tương đương

x +\(\frac{x}{a}\)- \(\frac{1}{a}\)- \(\frac{x}{a}\)- \(\frac{1}{a}\)+ (a - 2)x < 0

<=> x - \(\frac{2}{a}\)+ (a - 2) x < 0

<=> (a - 1)x < \(\frac{2}{a}\)

TH1: a = 1: BPT luôn đúng với mọi x

TH2: a > 1: BPT tương đương:

x < \(\frac{2}{a\left(a-1\right)}\)

TH3: a < 1 (a\(\ne\)0) BPT tương đương:

x > \(\frac{2}{a\left(a-1\right)}\)

\(\frac{x-5}{100}+\frac{x-4}{101}+\frac{x-3}{102}=\frac{x-100}{5}+\frac{x-101}{4}+\frac{x-102}{3}\)

<=>  \(\frac{x-5}{100}-1+\frac{x-4}{101}-1+\frac{x-3}{102}-1=\frac{x-100}{5}-1+\frac{x-101}{4}-1+\frac{x-102}{3}-1\)

<=>  \(\frac{x-105}{100}+\frac{x-105}{101}+\frac{x-105}{102}=\frac{x-105}{5}+\frac{x-105}{4}+\frac{x-105}{3}\)

<=>  \(\left(x-105\right)\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=0\)

Nhận thấy:   \(\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\ne0\)

=>  \(x-105=0\)

<=>  \(x=105\)

\(\frac{x-5}{100}+\frac{x-4}{101}+\frac{x-3}{102}=\frac{x-100}{5}+\frac{x-101}{4}+\frac{x-102}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-5}{100}+\frac{x-4}{101}+\frac{x-3}{102}-\frac{x-100}{5}-\frac{x-101}{4}-\frac{x-102}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-5}{100}-1\right)+\left(\frac{x-4}{101}-1\right)+\left(\frac{x-3}{102}-1\right)-\left(\frac{x-100}{5}-1\right)-\left(\frac{x-101}{4}-1\right)-\left(\frac{x-102}{3}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-105}{100}+\frac{x-105}{101}+\frac{x-105}{102}-\frac{x-105}{5}-\frac{x-105}{4}-\frac{x-105}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-105\right)\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-105=0\left(Vì\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow x=105\)

\(m^3x+m^2x-m^2-mx-5m=6-2x\)

\(\left(m^3+m^2-m+2\right)x=m^2+5m+6\)

\(\left(m+2\right)\left(m^2-m+1\right)x=\left(m+2\right)\left(m+3\right)\)

Vậy để nghiêm \(x\in R\Rightarrow m=-2\)

mình cảm ơn trước nhé