1. Dữ kiện bài toán

Cho tam giác \(\triangle A B C\) có:

\(A B = 4 , A C = 3.\)

Trên các cạnh đó lấy:

\(A D = 2 A E .\)

Trên đoạn \(D E\) lấy \(F\) sao cho:

\(\frac{F D}{F E} = \frac{3}{2} .\)

Tia \(A F\) cắt \(B C\) tại \(M\).
Cần chứng minh: \(M\) là trung điểm của \(B C\).

2. Đặt hệ trục toạ độ để dễ tính

Đặt tam giác \(A B C\) trong hệ tọa độ:

• Lấy \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\).
• Đặt \(A B\) trùng trục \(O x\), nên \(B \left(\right. 4 , 0 \left.\right)\).
• Vì \(A C = 3\), ta có thể đặt \(C \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\).

\(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , B \left(\right. 4 , 0 \left.\right) , C \left(\right. 0 , 3 \left.\right) .\)

3. Xác định điểm D, E

Trên \(A B\):
Vì \(A B = 4\) và \(A D : D B = ?\) (chưa biết DB, nhưng chỉ biết \(A D = 2 A E\)) → chưa liên hệ, nên ta cứ gọi:

Trên \(A B\):

\(D \in A B \Rightarrow D \left(\right. x_{D} , 0 \left.\right) .\)

Vì ( AB = 4 \Rightarrow 0 \le x_D \le 4.
]

Trên \(A C\):

\(E \in A C \Rightarrow E \left(\right. 0 , y_{E} \left.\right) .\)

Vì ( AC = 3 \Rightarrow 0 \le y_E \le 3.
]

4. Dữ kiện \(A D = 2 A E\)

Ta có:

\(A D = x_{D} , A E = y_{E} .\)

Vì ( AD = 2AE \Rightarrow x_D = 2y_E. ]

5. Phương trình đường DE

Ta có:

\(D \left(\right. 2 y_{E} , 0 \left.\right) , E \left(\right. 0 , y_{E} \left.\right) .\)

Phương trình DE:

Dạng tham số:

\(\overset{\rightarrow}{D E} = E - D = \left(\right. - 2 y_{E} , y_{E} \left.\right) .\)

Điểm trên DE có dạng:

\(\mathbf{r} \left(\right. t \left.\right) = D + t \left(\right. E - D \left.\right) = \left(\right. 2 y_{E} , 0 \left.\right) + t \left(\right. - 2 y_{E} , y_{E} \left.\right) = \left(\right. 2 y_{E} \left(\right. 1 - t \left.\right) , y_{E} t \left.\right) .\)

Với \(t \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\), \(t = 0\) tại D, \(t = 1\) tại E.

6. Tìm F chia trong DE theo tỉ số \(\frac{F D}{F E} = \frac{3}{2}\)

Ta có \(F D / F E = 3 / 2 \Rightarrow\) F chia DE theo tỉ số trong \(D F : F E = 3 : 2.\)

→ \(F\) nằm giữa D và E, và ta có:

\(t = \frac{D F}{D E} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5} .\)

7. Toạ độ điểm F

Thay \(t = \frac{3}{5}\) vào biểu thức của điểm trên DE:

\(F = \left(\right. 2 y_{E} \left(\right. 1 - \frac{3}{5} \left.\right) , y_{E} \frac{3}{5} \left.\right) = \left(\right. 2 y_{E} \frac{2}{5} , \frac{3}{5} y_{E} \left.\right) = \left(\right. \frac{4 y_{E}}{5} , \frac{3 y_{E}}{5} \left.\right) .\)

8. Phương trình tia AF

Vì \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(F \left(\right. \frac{4 y_{E}}{5} , \frac{3 y_{E}}{5} \left.\right)\),
phương trình AF đi qua gốc tọa độ, nên dạng:

\(\frac{y}{x} = \frac{3 y_{E} / 5}{4 y_{E} / 5} = \frac{3}{4} .\)

Vậy phương trình AF:

\(y = \frac{3}{4} x .\)

9. Phương trình cạnh BC

\(B \left(\right. 4 , 0 \left.\right) , C \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\).
→ Phương trình BC:

\(\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3 x + 4 y = 12.\)

10. Giao điểm M của AF và BC

Giải hệ:

\(\left{\right. y = \frac{3}{4} x , \\ 3 x + 4 y = 12.\)

Thay vào:

\(3 x + 4 \cdot \frac{3}{4} x = 12 \Rightarrow 3 x + 3 x = 12 \Rightarrow x = 2.\)

→ \(y = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2} = 1.5.\)

\(M \left(\right. 2 , 1.5 \left.\right) .\)

11. Kiểm tra M có là trung điểm của BC không

Toạ độ trung điểm \(I\) của \(B \left(\right. 4 , 0 \left.\right)\) và \(C \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\):

\(I \left(\right. \frac{4 + 0}{2} , \frac{0 + 3}{2} \left.\right) = \left(\right. 2 , 1.5 \left.\right) .\)

→ \(M \equiv I\).

✅ Kết luận:

\(\boxed{M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B C .}\)

nhìn phát biết là hỏi chị google rồi copy vào mà

🧠 Phân tích đề bài

• Cho tam giác ΔABC\Delta ABC với AB=4AB = 4, AC=3AC = 3.
• Trên đoạn ABAB lấy điểm DD, trên đoạn ACAC lấy điểm EE sao cho AD=2AEAD = 2AE.
• Điểm FF chia đoạn DEDE theo tỉ số FD:FE=3:2FD : FE = 3 : 2.
• Tia AFAF cắt cạnh BCBC tại điểm MM.
• Yêu cầu: Chứng minh MM là trung điểm của BCBC.

📐 Hướng giải bằng tọa độ

1. Đặt hệ trục tọa độ:
2. • Gọi A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0), C(0,3)C(0,3) để đơn giản hóa tính toán.
3. Xác định tọa độ điểm D và E:
4. • Gọi D∈AB⇒D(xD,0)D \in AB \Rightarrow D(x_D, 0), E∈AC⇒E(0,yE)E \in AC \Rightarrow E(0, y_E).
   • Vì AD=2AE⇒xD=2yEAD = 2AE \Rightarrow x_D = 2y_E.
5. Tọa độ điểm D và E:
6. • D(2yE,0)D(2y_E, 0), E(0,yE)E(0, y_E).
7. Tìm tọa độ điểm F chia đoạn DE theo tỉ số 3:23:2:
8. • Dùng công thức chia đoạn theo tỉ số:

1. Phương trình đường thẳng AF:
2. • Vì A(0,0)A(0,0), F(4yE5,3yE5)F\left( \frac{4y_E}{5}, \frac{3y_E}{5} \right), nên hệ số góc là 34\frac{3}{4}.
   • Phương trình: y=34xy = \frac{3}{4}x.
3. Phương trình đường thẳng BC:
4. • B(4,0)B(4,0), C(0,3)C(0,3) → phương trình: 3x+4y=123x + 4y = 12.
5. Tìm giao điểm M của AF và BC:
6. • Giải hệ:

• Thay vào: 3x+4⋅34x=12⇒6x=12⇒x=23x + 4 \cdot \frac{3}{4}x = 12 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2, y=34⋅2=1.5y = \frac{3}{4} \cdot 2 = 1.5
• Vậy M(2,1.5)M(2, 1.5)

1. Kiểm tra M có là trung điểm của BC không:
2. • Trung điểm của B(4,0)B(4,0) và C(0,3)C(0,3) là:

• Trùng với tọa độ MM → ✅ M là trung điểm của BC

✅ Kết luận

Dựa trên phương pháp tọa độ và các dữ kiện đề bài, ta chứng minh được rằng M là trung điểm của đoạn BC.