Sửa đề: Kẻ MD⊥AB tại D, kẻ ME⊥AC tại E

a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Ta có: ADME là hình chữ nhật

=>DM=AE và AD=ME

DM=AE

EA=EC

Do đó: DM=EC

Xét tứ giác DMCE có

DM//CE

DM=CE

Do đó: DMCE là hình bình hành

=>DC cắt ME tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của ME

nên O là trung điểm của DC

=>D,O,C thẳng hàng

c: Hình chữ nhật ADME trở thành hình vuông khi AD=AE
mà AB=2AD(D là trung điểm của AB)

và AC=2AE(E là trung điểm của AC)

nên AB=AC

• • △ABC△𝐴𝐵𝐶 vuông tại A, nên  ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘ (hay  ∠DAE=90∘∠𝐷𝐴𝐸=90∘).
  • MD⟂AB𝑀𝐷⟂𝐴𝐵 tại D, nên  ∠MDA=90∘∠𝑀𝐷𝐴=90∘.
  • ME⟂AC𝑀𝐸⟂𝐴𝐶 tại E, nên  ∠MEA=90∘∠𝑀𝐸𝐴=90∘.
• Tứ giác ADME có ba góc vuông ( ∠DAE∠𝐷𝐴𝐸,  ∠MDA∠𝑀𝐷𝐴,  ∠MEA∠𝑀𝐸𝐴).
• Vậy, tứ giác ADME là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác có ba góc vuông). 

• Chứng minh  DM=EC𝐷𝑀=𝐸𝐶:
• • Vì ADME là hình chữ nhật (câu a), nên  DM=AE𝐷𝑀=𝐴𝐸 và  AD=ME𝐴𝐷=𝑀𝐸.
  • Mặt khác, trong  △ABC△𝐴𝐵𝐶 vuông tại A, M là trung điểm của BC. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông,  AM=MB=MC=BC2𝐴𝑀=𝑀𝐵=𝑀𝐶=𝐵𝐶2.
  • Xét  △ABC△𝐴𝐵𝐶, ta có MD // AC (vì cùng vuông góc với AB) và M là trung điểm BC, nên D là trung điểm của AB. Do đó  AD=DB=AB2𝐴𝐷=𝐷𝐵=𝐴𝐵2.
  • Tương tự, ME // AB (vì cùng vuông góc với AC) và M là trung điểm BC, nên E là trung điểm của AC. Do đó  AE=EC=AC2𝐴𝐸=𝐸𝐶=𝐴𝐶2.
  • Từ  DM=AE𝐷𝑀=𝐴𝐸 và  AE=EC𝐴𝐸=𝐸𝐶, suy ra  DM=EC𝐷𝑀=𝐸𝐶.
• Chứng minh 3 điểm  D,O,C𝐷,𝑂,𝐶 thẳng hàng:
• • O là trung điểm của ME.
  • Xét tứ giác DMCE:
  • • Ta có  DM∥EC𝐷𝑀∥𝐸𝐶 (vì cùng vuông góc với AB, hoặc do DM // AE và E thuộc AC).
    • Ta đã chứng minh được  DM=EC𝐷𝑀=𝐸𝐶.
    • Một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Vậy DMCE là hình bình hành.
  • Trong hình bình hành DMCE, hai đường chéo DE và MC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
  • Gọi I là trung điểm của DE. I cũng là trung điểm của MC.
  • Vì O là trung điểm của ME, để D, O, C thẳng hàng thì O phải nằm trên đường chéo DC. Điều này có vẻ không đúng với mọi trường hợp.
  • Chúng ta cần kiểm tra lại phần chứng minh 3 điểm D, O, C thẳng hàng. Xét đường chéo DC của hình bình hành DMCE. Trung điểm của DMCE là giao điểm của DE và MC.
  • Có lẽ có một cách chứng minh khác cho ba điểm D, O, C thẳng hàng.
  • Ta có  AD=DB𝐴𝐷=𝐷𝐵 và  AE=EC𝐴𝐸=𝐸𝐶. Xét  △ABC△𝐴𝐵𝐶, DE là đường trung bình, nên DE // BC và  DE=BC2𝐷𝐸=𝐵𝐶2.
  • Vì DMCE là hình bình hành, nên DC đi qua trung điểm của ME. O là trung điểm của ME.
  • Do đó, đường chéo DC đi qua O.
  • Vậy, ba điểm D, O, C thẳng hàng. 

• Tứ giác ADME đã là hình chữ nhật.
• Để hình chữ nhật ADME là hình vuông, nó cần có hai cạnh kề bằng nhau, ví dụ  AD=AE𝐴𝐷=𝐴𝐸.
• Ta có  AD=AB2𝐴𝐷=𝐴𝐵2 và  AE=AC2𝐴𝐸=𝐴𝐶2.
• Điều kiện  AD=AE⟹AB2=AC2⟹AB=AC𝐴𝐷=𝐴𝐸⟹𝐴𝐵2=𝐴𝐶2⟹𝐴𝐵=𝐴𝐶.
• Vậy,  △ABC△𝐴𝐵𝐶 cần thêm điều kiện  AB=AC𝐴𝐵=𝐴𝐶 (tức là  △ABC△𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại A) để tứ giác ADME là hình vuông.

• • △ABC△𝐴𝐵𝐶 vuông tại A, nên  ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘ (hay  ∠DAE=90∘∠𝐷𝐴𝐸=90∘).
  • MD⟂AB𝑀𝐷⟂𝐴𝐵 tại D, nên  ∠MDA=90∘∠𝑀𝐷𝐴=90∘.
  • ME⟂AC𝑀𝐸⟂𝐴𝐶 tại E, nên  ∠MEA=90∘∠𝑀𝐸𝐴=90∘.
• Tứ giác ADME có ba góc vuông ( ∠DAE∠𝐷𝐴𝐸,  ∠MDA∠𝑀𝐷𝐴,  ∠MEA∠𝑀𝐸𝐴).
• Vậy, tứ giác ADME là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác có ba góc vuông). 

b) Chứng minh  DM=EC𝐷𝑀=𝐸𝐶 và 3 điểm  D,O,C𝐷,𝑂,𝐶 thẳng hàng 

• Chứng minh  DM=EC𝐷𝑀=𝐸𝐶:
• • Vì ADME là hình chữ nhật (câu a), nên  DM=AE𝐷𝑀=𝐴𝐸 và  AD=ME𝐴𝐷=𝑀𝐸.
  • Mặt khác, trong  △ABC△𝐴𝐵𝐶 vuông tại A, M là trung điểm của BC. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông,  AM=MB=MC=BC2𝐴𝑀=𝑀𝐵=𝑀𝐶=𝐵𝐶2.
  • Xét  △ABC△𝐴𝐵𝐶, ta có MD // AC (vì cùng vuông góc với AB) và M là trung điểm BC, nên D là trung điểm của AB. Do đó  AD=DB=AB2𝐴𝐷=𝐷𝐵=𝐴𝐵2.
  • Tương tự, ME // AB (vì cùng vuông góc với AC) và M là trung điểm BC, nên E là trung điểm của AC. Do đó  AE=EC=AC2𝐴𝐸=𝐸𝐶=𝐴𝐶2.
  • Từ  DM=AE𝐷𝑀=𝐴𝐸 và  AE=EC𝐴𝐸=𝐸𝐶, suy ra  DM=EC𝐷𝑀=𝐸𝐶.
• Chứng minh 3 điểm  D,O,C𝐷,𝑂,𝐶 thẳng hàng:
• • O là trung điểm của ME.
  • Xét tứ giác DMCE:
  • • Ta có  DM∥EC𝐷𝑀∥𝐸𝐶 (vì cùng vuông góc với AB, hoặc do DM // AE và E thuộc AC).
    • Ta đã chứng minh được  DM=EC𝐷𝑀=𝐸𝐶.
    • Một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Vậy DMCE là hình bình hành.
  • Trong hình bình hành DMCE, hai đường chéo DE và MC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
  • Gọi I là trung điểm của DE. I cũng là trung điểm của MC.
  • Vì O là trung điểm của ME, để D, O, C thẳng hàng thì O phải nằm trên đường chéo DC. Điều này có vẻ không đúng với mọi trường hợp.
  • Chúng ta cần kiểm tra lại phần chứng minh 3 điểm D, O, C thẳng hàng. Xét đường chéo DC của hình bình hành DMCE. Trung điểm của DMCE là giao điểm của DE và MC.
  • Có lẽ có một cách chứng minh khác cho ba điểm D, O, C thẳng hàng.
  • Ta có  AD=DB𝐴𝐷=𝐷𝐵 và  AE=EC𝐴𝐸=𝐸𝐶. Xét  △ABC△𝐴𝐵𝐶, DE là đường trung bình, nên DE // BC và  DE=BC2𝐷𝐸=𝐵𝐶2.
  • Vì DMCE là hình bình hành, nên DC đi qua trung điểm của ME. O là trung điểm của ME.
  • Do đó, đường chéo DC đi qua O.
  • Vậy, ba điểm D, O, C thẳng hàng. 

c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ADME là hình vuông 

• Tứ giác ADME đã là hình chữ nhật.
• Để hình chữ nhật ADME là hình vuông, nó cần có hai cạnh kề bằng nhau, ví dụ  AD=AE𝐴𝐷=𝐴𝐸.
• Ta có  AD=AB2𝐴𝐷=𝐴𝐵2 và  AE=AC2𝐴𝐸=𝐴𝐶2.
• Điều kiện  AD=AE⟹AB2=AC2⟹AB=AC𝐴𝐷=𝐴𝐸⟹𝐴𝐵2=𝐴𝐶2⟹𝐴𝐵=𝐴𝐶.
• Vậy,  △ABC△𝐴𝐵𝐶 cần thêm điều kiện  AB=AC𝐴𝐵=𝐴𝐶 (tức là  △ABC△𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại A) để tứ giác ADME là hình vuông.