Phân tích bài toán

Đề bài yêu cầu: Chứng minh rằng:
S = \(\frac{2012}{201 1^{2} + 1}+\frac{2012}{201 1^{2} + 2}+\ldots+\frac{2012}{201 1^{2} + 2011}>1\)

Ta đặt tổng trên là S.

• Nhận xét 1: Tổng S là tổng của nhiều phân số.
• Nhận xét 2: Tất cả các phân số trong tổng S đều có chung tử số là 2012.
• Nhận xét 3: Mẫu số của các phân số là các số nguyên liên tiếp, tăng dần từ 2011² + 1 đến 2011² + 2011.
• Nhận xét 4: Số lượng các số hạng trong tổng S là: (2011 - 1) + 1 = 2011 số hạng.

Hướng tư duy và phương pháp giải

Mục tiêu của chúng ta là chứng minh S > 1.

Ý tưởng của phương pháp so sánh là tìm cách biến đổi tổng S thành một tổng khác đơn giản hơn mà chúng ta có thể dễ dàng tính toán giá trị của nó.

• Để chứng minh S lớn hơn 1 (S > 1): Ta sẽ tìm cách so sánh S với một tổng mới (gọi là S’) sao cho S > S' và ta có thể tính được S' = 1. Phương pháp này gọi là phương pháp làm giảm.
• Làm sao để tạo ra một tổng nhỏ hơn S?: Một tổng các phân số dương sẽ nhỏ đi nếu ta làm cho từng phân số trong tổng đó nhỏ đi.
• Làm sao để một phân số nhỏ đi?: Với các phân số có tử số dương và mẫu số dương, để giá trị của phân số nhỏ đi, ta phải tăng mẫu số của nó lên (trong khi giữ nguyên tử số).

Trong tổng S, các mẫu số là 2011² + 1, 2011² + 2, …, 2011² + 2011. Mẫu số lớn nhất trong dãy này là 2011² + 2011.

Vậy, chúng ta sẽ thay thế tất cả các mẫu số của các số hạng trong S bằng mẫu số lớn nhất này (2011² + 2011) để tạo ra một tổng mới nhỏ hơn S.

Trình bày bài giải chi tiết

Đặt S = \(\frac{2012}{201 1^{2} + 1}+\frac{2012}{201 1^{2} + 2}+\ldots+\frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)

Tổng S có tất cả là (2011 - 1) + 1 = 2011 số hạng.

Ta xét các mẫu số của các phân số trong tổng S:
\(201 1^{2} + 1 , 201 1^{2} + 2 , \ldots , 201 1^{2} + 2011\).

Mẫu số lớn nhất là \(201 1^{2} + 2011\).

Bây giờ, ta tiến hành so sánh từng số hạng của S với một phân số có mẫu số là \(201 1^{2} + 2011\).

• Ta có: \(201 1^{2} + 1 < 201 1^{2} + 2011\)
  => \(\frac{2012}{201 1^{2} + 1} > \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\) (Vì khi so sánh hai phân số cùng tử số dương, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn).
• Tương tự, ta có: \(201 1^{2} + 2 < 201 1^{2} + 2011\)
  => \(\frac{2012}{201 1^{2} + 2} > \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)
• …
• Và: \(201 1^{2} + 2010 < 201 1^{2} + 2011\)
  => \(\frac{2012}{201 1^{2} + 2010} > \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)
• Số hạng cuối cùng thì bằng:
  \(\frac{2012}{201 1^{2} + 2011} = \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)

Bây giờ, ta cộng tất cả các vế của các bất đẳng thức trên lại với nhau:

S = \(\frac{2012}{201 1^{2} + 1}+\frac{2012}{201 1^{2} + 2}+\ldots+\frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)

\(S>\underbrace{\frac{2012}{2011^2+2011}+\frac{2012}{2011^2+2011}+\ldots+\frac{2012}{2011^2+2011}}_{\text{Có 2011 số hạng}}\)

Ta tính giá trị của tổng bên vế phải:

Vế phải = \(2011 \times \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)

Vế phải = \(\frac{2011 \times 2012}{201 1^{2} + 2011}\)

Để ý dưới mẫu số, ta có thể đặt 2011 làm nhân tử chung:
\(201 1^{2} + 2011 = 2011 \times 2011 + 2011 \times 1 = 2011 \times \left(\right. 2011 + 1 \left.\right) = 2011 \times 2012\).

Thay vào biểu thức:
Vế phải = \(\frac{2011 \times 2012}{2011 \times 2012}\)

Vế phải = \(1\)

Từ các bước trên, ta suy ra:
S > \(1\)

Kết luận

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\(\frac{2012}{201 1^{2} + 1}+\frac{2012}{201 1^{2} + 2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{2012}{201 1^{2} + 2011}>1\)

Lời khuyên

• Nhận dạng bài toán: Khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức với một tổng có rất nhiều số hạng mà bạn không thể tính trực tiếp, hãy nghĩ ngay đến phương pháp so sánh, ước lượng.
• Xác định hướng so sánh:
• • Để chứng minh lớn hơn (>), ta cần làm cho các số hạng nhỏ đi (tăng mẫu số hoặc giảm tử số) để tạo ra một tổng mới nhỏ hơn nhưng dễ tính toán.
  • Để chứng minh nhỏ hơn (<), ta cần làm cho các số hạng lớn lên (giảm mẫu số hoặc tăng tử số) để tạo ra một tổng mới lớn hơn nhưng dễ tính toán.
• Chìa khóa của bài này: Bước quan trọng nhất là nhận ra rằng tất cả các mẫu số đều lớn hơn 2011² nhưng nhỏ hơn hoặc bằng 2011² + 2011. Việc chọn mốc so sánh là mẫu số lớn nhất (2011² + 2011) giúp chúng ta đưa bài toán về một tổng đơn giản có thể tính ra kết quả bằng 1.