A) Vì 2013 là số lẻ nên (\(1^{2013}+2^{2013}\)+....\(n^{2013}\)): (1+2+...+n)
Hay( \(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)) :\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
=>2(\(1^{2013}+2^{2013}\)+\(3^{2013}\)+......\(n^{2013}\)):n(n+1)(đpcm)
B)
Do 1 lẻ , \(2q^2\) chẵn nên p lẻ
p2−1⇔\(2q^2\)(p−1)(p+1)=\(2q^2\)
p lẻ nên p−1 và p+1đều chẵn ⇒(p−1)(p+1)⋮4
⇒\(q^2\):2 =>q:2 =>q=2
⇒\(q^2\)=2.2\(^2\)+1=9=>q=3
Chắc đúng vì hôm trước cô mik giải thik vTìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn 2n+11 chia hết cho 2k-1.
Để tìm tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ giải phương trình theo n.
2n + 11 chia hết cho 2k - 1 có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương m sao cho:
2n + 11 = (2k - 1)m
Chuyển biểu thức trên về dạng phương trình tuyến tính:
2n - (2k - 1)m = -11
Ta nhận thấy rằng nếu ta chọn một số nguyên dương nào đó, ta có thể tìm được một số nguyên dương k tương ứng để phương trình trên có nghiệm. Do đó, ta chỉ cần tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên.
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng (Extended Euclidean Algorithm). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể tìm được một số giá trị n và k thỏa mãn phương trình bằng cách thử từng giá trị của n và tính giá trị tương ứng của k.
Dưới đây là một số cặp giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho:
(n, k) = (3, 2), (7, 3), (11, 4), (15, 5), (19, 6), …
Từ đó, ta có thể thấy rằng có vô số giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho.
Nếu câu trả lời không hiện đủ, bạn vào lịch sử câu trả lời của tôi để xem full nhé.
Trước hết, chúng ta cùng xác định dạng bài tập này.
Xác định dạng bài tập
Sau khi tìm kiếm và phân tích, đây là một bài toán thuộc chuyên đề Số học trong chương trình Toán lớp 9. Cụ thể hơn, bài toán này kết hợp các kiến thức về:
Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào lời giải chi tiết.
Lời giải chi tiết
Đề bài: Cho số nguyên dương n là tích của 3 số nguyên tố phân biệt. Biết rằng, tổng tất cả các ước nguyên dương của n bằng 2n-16. Chứng minh rằng, n-8 chia hết cho 6.
Bước 1: Phân tích bài toán và thiết lập phương trình
nlà số nguyên dương.nlà tích của 3 số nguyên tố phân biệt. Gọi 3 số nguyên tố đó làp,q,r. Để tiện cho việc lập luận, ta có thể giả sửp < q < r.nlà:n = p * q * r.nbằng2n - 16.n = p * q * rvới p, q, r là các số nguyên tố phân biệt, các ước nguyên dương củansẽ là tất cả các tổ hợp có thể có khi nhân các số1, p, q, rvới nhau.1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr.n, ký hiệu làS(n), là:S(n) = 1 + p + q + r + pq + pr + qr + pqrS(n) = (1 + p) + q(1 + p) + r(1 + p) + qr(1 + p)S(n) = (1 + p)(1 + q + r + qr)S(n) = (1 + p)[(1 + q) + r(1 + q)]S(n) = (1 + p)(1 + q)(1 + r)S(n) = 2n - 16.S(n)vànvào, ta được phương trình:(1 + p)(1 + q)(1 + r) = 2(pqr) - 16Đây là phương trình mấu chốt của bài toán. Nhiệm vụ của chúng ta là giải phương trình này để tìm ra bộ ba số nguyên tố (p, q, r).
Bước 2: Giải phương trình và tìm n
Phương trình
(1 + p)(1 + q)(1 + r) = 2pqr - 16là một phương trình nghiệm nguyên với 3 ẩn là các số nguyên tố. Ta sẽ dùng phương pháp lập luận và xét tính chẵn lẻ.2pqr - 16 = 2(pqr - 8). Biểu thức này luôn là một số chẵn.(1 + p)(1 + q)(1 + r)cũng phải là một số chẵn.(1+p), (1+q), (1+r)phải chẵn.(1+p)chẵn thìpphải là số lẻ. Tương tự choqvàr.p, q, rđều là số lẻ.p, q, rđều ≥ 3. ( một số nguyên tố là số lẻ, nó phải ≥ 3 (vì 2 là số chẵn duy nhất là số nguyên tố) )1+p,1+q,1+rsẽ đều là số chẵn.(1+p)(1+q)(1+r)sẽ chia hết cho2 * 2 * 2 = 8.Giải thích từng phần:
2pqr - 16. Vìp, q, rđều lẻ nên tíchpqrcũng là một số lẻ.pqr - 8sẽ là(số lẻ) - (số chẵn) = số lẻ.2 * (số lẻ). Biểu thức này chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.Khi bạn nhân 2 với bất kỳ số lẻ nào, bạn sẽ được một số chẵn. Nhưng số chẵn này có tính chất đặc biệt:
Tại sao chia hết cho 2:
Tại sao KHÔNG chia hết cho 4:
p, q, rđều là số lẻ. Do đó, phải có ít nhất một số nguyên tố chẵn.p, q, rlà các số nguyên tố phân biệt, nên phải có đúng một số bằng 2. Do ta đã giả sửp < q < r, nên ta cóp = 2.p = 2vào phương trình và giải tiếp:p = 2vào phương trình(1 + p)(1 + q)(1 + r) = 2pqr - 16:(1 + 2)(1 + q)(1 + r) = 2(2qr) - 163(1 + q + r + qr) = 4qr - 163 + 3q + 3r + 3qr = 4qr - 164qr - 3qr - 3q - 3r = 3 + 16qr - 3q - 3r = 19q(r - 3) - 3r = 19q(r - 3) - 3r + 9 = 19 + 9(Ta thêm 9 vào hai vế để có thể nhóm(r-3))q(r - 3) - 3(r - 3) = 28