Đề bài

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng:
\(a b c \left(\right. cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C \left.\right) = a^{2} \left(\right. p - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. p - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. p - c \left.\right)\)

Phân tích và hướng giải quyết

• Vế trái (VT) chứa các giá trị lượng giác là \(cos ⁡ A , cos ⁡ B , cos ⁡ C\).
• Vế phải (VP) chỉ chứa độ dài các cạnh \(a , b , c\) và nửa chu vi \(p\).
• Suy luận: Để chứng minh đẳng thức, chúng ta cần biến đổi vế này thành vế kia. Một hướng tiếp cận tự nhiên là “khử” các yếu tố lượng giác ở vế trái bằng cách biểu diễn chúng qua các cạnh \(a , b , c\). Công cụ mạnh nhất cho việc này chính là Định lý Cosin.
• Kế hoạch:
• 1. Biến đổi vế trái (VT) bằng cách áp dụng Định lý Cosin để thay thế \(cos ⁡ A , cos ⁡ B , cos ⁡ C\) bằng các biểu thức chứa \(a , b , c\).
  2. Rút gọn biểu thức của VT sau khi thay thế.
  3. Song song đó, biến đổi vế phải (VP) bằng cách thay \(p = \frac{a + b + c}{2}\) và rút gọn.
  4. So sánh hai kết quả sau khi biến đổi để đi đến kết luận cuối cùng.

Bài giải chi tiết

Ta cần chứng minh:
\(a b c \left(\right. cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C \left.\right) = a^{2} \left(\right. p - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. p - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. p - c \left.\right)\)

Đặt \(V T = a b c \left(\right. cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C \left.\right)\)
và \(V P = a^{2} \left(\right. p - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. p - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. p - c \left.\right)\).

Bước 1: Biến đổi Vế Trái (VT)

• Tư duy: Chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosin trong tam giác ABC để biểu diễn \(cos ⁡ A , cos ⁡ B , cos ⁡ C\) theo \(a , b , c\).
• Áp dụng Định lý Cosin:
• • \(a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos ⁡ A \Longrightarrow cos ⁡ A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}\)
  • \(b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos ⁡ B \Longrightarrow cos ⁡ B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}\)
  • \(c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos ⁡ C \Longrightarrow cos ⁡ C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}\)
• Thay các biểu thức này vào VT:
  \(V T = a b c \left(\right. \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \left.\right)\)
• Thực hiện phép nhân: Ta nhân \(a b c\) vào từng hạng tử bên trong dấu ngoặc.
  \(V T = \frac{a b c \left(\right. b^{2} + c^{2} - a^{2} \left.\right)}{2 b c} + \frac{a b c \left(\right. a^{2} + c^{2} - b^{2} \left.\right)}{2 a c} + \frac{a b c \left(\right. a^{2} + b^{2} - c^{2} \left.\right)}{2 a b}\)
• Rút gọn từng hạng tử:
  \(V T = \frac{a \left(\right. b^{2} + c^{2} - a^{2} \left.\right)}{2} + \frac{b \left(\right. a^{2} + c^{2} - b^{2} \left.\right)}{2} + \frac{c \left(\right. a^{2} + b^{2} - c^{2} \left.\right)}{2}\)
• Đưa về cùng một mẫu số và rút gọn:
  \(V T = \frac{1}{2} \left[\right. a \left(\right. b^{2} + c^{2} - a^{2} \left.\right) + b \left(\right. a^{2} + c^{2} - b^{2} \left.\right) + c \left(\right. a^{2} + b^{2} - c^{2} \left.\right) \left]\right.\)
• Khai triển các tích:
  \(V T = \frac{1}{2} \left(\right. a b^{2} + a c^{2} - a^{3} + a^{2} b + b c^{2} - b^{3} + a^{2} c + b^{2} c - c^{3} \left.\right)\)

Đến đây, vế trái đã được biến đổi hoàn toàn theo các cạnh \(a , b , c\). Ta tạm dừng ở đây và tiếp tục biến đổi vế phải.

Bước 2: Biến đổi Vế Phải (VP)

• Tư duy: Vế phải chứa nửa chu vi \(p\). Ta sẽ thay định nghĩa của \(p\) vào biểu thức để nó cũng chỉ còn chứa \(a , b , c\).
• Sử dụng định nghĩa nửa chu vi: \(p = \frac{a + b + c}{2}\).
  Từ đó ta có:
• • \(p - a = \frac{a + b + c}{2} - a = \frac{a + b + c - 2 a}{2} = \frac{b + c - a}{2}\)
  • \(p - b = \frac{a + b + c}{2} - b = \frac{a + b + c - 2 b}{2} = \frac{a + c - b}{2}\)
  • \(p - c = \frac{a + b + c}{2} - c = \frac{a + b + c - 2 c}{2} = \frac{a + b - c}{2}\)
• Thay các biểu thức này vào VP:
  \(V P = a^{2} \left(\right. \frac{b + c - a}{2} \left.\right) + b^{2} \left(\right. \frac{a + c - b}{2} \left.\right) + c^{2} \left(\right. \frac{a + b - c}{2} \left.\right)\)
• Đưa về cùng một mẫu số và rút gọn:
  \(V P = \frac{1}{2} \left[\right. a^{2} \left(\right. b + c - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. a + c - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. a + b - c \left.\right) \left]\right.\)
• Khai triển các tích:
  \(V P = \frac{1}{2} \left(\right. a^{2} b + a^{2} c - a^{3} + a b^{2} + b^{2} c - b^{3} + a c^{2} + b c^{2} - c^{3} \left.\right)\)

Bước 3: So sánh VT và VP

Bây giờ, chúng ta hãy so sánh hai biểu thức đã được khai triển của VT và VP.

• Biểu thức của VT (sau khi sắp xếp lại các hạng tử):
  \(V T = \frac{1}{2} \left(\right. - a^{3} - b^{3} - c^{3} + a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + a c^{2} + b^{2} c + b c^{2} \left.\right)\)
• Biểu thức của VP (sau khi sắp xếp lại các hạng tử):
  \(V P = \frac{1}{2} \left(\right. - a^{3} - b^{3} - c^{3} + a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + a c^{2} + b^{2} c + b c^{2} \left.\right)\)

Ta thấy rằng biểu thức của VT và VP sau khi biến đổi là hoàn toàn giống nhau.

Kết luận

Vì \(V T = V P\), nên đẳng thức đã cho là đúng.
Vậy, ta đã chứng minh được:
\(\boxed{a b c \left(\right. cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C \left.\right) = a^{2} \left(\right. p - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. p - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. p - c \left.\right)}\) (Điều phải chứng minh).

Lời khuyên

1. Nhận dạng bài toán: Khi gặp một bài toán chứng minh hệ thức trong tam giác, hãy quan sát kỹ các yếu tố có trong hai vế. Nếu một vế chứa các hàm số lượng giác (sin, cos, tan) và vế còn lại chỉ chứa cạnh, hãy nghĩ ngay đến việc dùng các định lý như Định lý Cosin, Định lý Sin để “dịch” các yếu tố lượng giác thành các yếu tố cạnh.
2. Không ngại biến đổi: Đôi khi biểu thức sau khi biến đổi trông rất phức tạp và cồng kềnh. Đừng nản lòng, hãy kiên nhẫn thực hiện các phép toán đại số cơ bản (nhân, chia, cộng, trừ, nhóm hạng tử) một cách cẩn thận.
3. Biến đổi cả hai vế: Trong nhiều trường hợp, việc biến đổi một vế thành vế còn lại có thể rất khó. Một chiến lược hiệu quả là biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian đơn giản hơn, như chúng ta đã làm trong bài giải này.
4. Nắm vững công thức: Hãy chắc chắn rằng bạn thuộc và hiểu rõ các công thức cốt lõi: Định lý Cosin, Định lý Sin, các công thức tính diện tích, và các hệ thức liên quan đến trung tuyến, đường cao.