Câu 17:

a: Xét ΔABC vuông tại A có cos B\(=\frac{BA}{BC}=\frac36=\frac12\)

nên \(\hat{ABC}=60^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=6^2-3^2=27\)

=>\(AC=\sqrt{27}=3\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔDCB có

BK,CA là các đường cao

BK cắt CA tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔDCB

=>DI⊥BC tại E

Xét ΔKDI vuông tại K và ΔKBC vuông tại K có

\(\hat{KDI}=\hat{KBC}\left(=90^0-\hat{KCB}\right)\)

Do đó: ΔKDI~ΔKBC

=>\(\frac{KD}{KB}=\frac{DI}{BC}\)

=>\(DK\cdot BC=DI\cdot KB\)

Xét ΔBCK vuông tại K có sin BCK\(=\frac{BK}{BC}\)

Ta có: \(\frac{DK}{KB}=\frac{DI}{BC}\)

=>\(DK=DI\cdot\frac{BK}{BC}=DI\cdot\sin BCK\)

Phân tích bài toán

Đề bài: Cho các số thực dương \(a , b , c\) thỏa mãn \(a b c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{4} \left(\right. c^{2} + a^{2} \left.\right)}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{4} \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right)}{a^{3} + 2 b^{3}}\)

Hướng tư duy:

1. Biểu thức \(P\) có dạng tổng của ba phân thức có cấu trúc tương tự nhau (hoán vị vòng quanh). Điều này gợi ý rằng chúng ta sẽ đánh giá (tìm một chặn dưới) cho một phân thức tổng quát, sau đó áp dụng cho hai phân thức còn lại và cộng chúng lại.
2. Các số mũ trong biểu thức khá lớn và phức tạp. Ta cần tìm cách đơn giản hóa chúng. Nhận thấy ở tử số có các thành phần như \(\left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)\), ta có thể nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức AM-GM để làm gọn nó.
3. Sau khi đơn giản hóa, biểu thức mới có thể có dạng phù hợp để áp dụng một bất đẳng thức mạnh hơn như Cauchy-Schwarz dạng Engel.

Bài làm chi tiết

Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức P bằng Bất đẳng thức AM-GM

Xét phân thức đầu tiên: \(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}}\).

Ta có một đánh giá quen thuộc từ Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) cho hai số không âm \(x , y\) là \(x + y \geq 2 \sqrt{x y}\).
Áp dụng cho \(b^{2}\) và \(c^{2}\), ta có:
\(b^{2} + c^{2} \geq 2 \sqrt{b^{2} c^{2}}\)
Vì \(b , c\) là các số thực dương nên \(\sqrt{b^{2} c^{2}} = b c\).
\(\Longrightarrow b^{2} + c^{2} \geq 2 b c\)

Thay đánh giá này vào phân thức đầu tiên của \(P\), ta có:
\(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq \frac{a^{4} \left(\right. 2 b c \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}}\)

Bây giờ, ta sử dụng giả thiết của bài toán là \(a b c = 1\). Từ đây, ta suy ra \(b c = \frac{1}{a}\).
Thay \(b c = \frac{1}{a}\) vào bất đẳng thức trên:
\(\frac{a^{4} \left(\right. 2 b c \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{a^{4} \cdot 2 \cdot \frac{1}{a}}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}}\)

Như vậy, ta đã chứng minh được:
\(\frac{a^{4} \left(\right. b^{2} + c^{2} \left.\right)}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Tương tự, bằng cách hoán vị vòng quanh các biến \(a , b , c\), ta cũng có:
\(\frac{b^{4} \left(\right. c^{2} + a^{2} \left.\right)}{c^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{2 b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} \left(\right. 2 \left.\right)\)
\(\frac{c^{4} \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right)}{a^{3} + 2 b^{3}} \geq \frac{2 c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}} \left(\right. 3 \left.\right)\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(P \geq \frac{2 a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{2 b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{2 c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\)
\(P \geq 2 \left(\right. \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}} \left.\right)\)

Đặt \(S = \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\). Bài toán bây giờ trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\).

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của S bằng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel

Biểu thức \(S\) có dạng tổng các phân thức, rất phù hợp để áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel (còn gọi là BĐT Svac-xơ):
Với các số thực dương \(x_{1} , x_{2} , . . . , x_{n}\) và \(y_{1} , y_{2} , . . . , y_{n}\), ta có:
\(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\ldots+\frac{x_n^2}{y_n}\ge\frac{(x_1+x_2+\ldots+x_{n})^2}{y_1+y_2+\ldots+y_{n}}\)

Để áp dụng được, ta cần biến đổi tử số của các phân thức trong \(S\) thành dạng bình phương.
Ta viết lại \(S\) như sau:
\(S = \frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\)
\(S = \frac{a^{6}}{a^{3} \left(\right. b^{3} + 2 c^{3} \left.\right)} + \frac{b^{6}}{b^{3} \left(\right. c^{3} + 2 a^{3} \left.\right)} + \frac{c^{6}}{c^{3} \left(\right. a^{3} + 2 b^{3} \left.\right)}\)
\(S = \frac{\left(\right. a^{3} \left.\right)^{2}}{a^{3} b^{3} + 2 a^{3} c^{3}} + \frac{\left(\right. b^{3} \left.\right)^{2}}{b^{3} c^{3} + 2 b^{3} a^{3}} + \frac{\left(\right. c^{3} \left.\right)^{2}}{c^{3} a^{3} + 2 c^{3} b^{3}}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(S \geq \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{\left(\right. a^{3} b^{3} + 2 a^{3} c^{3} \left.\right) + \left(\right. b^{3} c^{3} + 2 b^{3} a^{3} \left.\right) + \left(\right. c^{3} a^{3} + 2 c^{3} b^{3} \left.\right)}\)
\(S \geq \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}\)

Bây giờ, ta cần đánh giá biểu thức \(\frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}\).
Ta sử dụng một bất đẳng thức phụ quen thuộc: Với mọi \(x , y , z\), ta có \(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\).
Chứng minh nhanh BĐT phụ: \(\left(\right. x + y + z \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x = \frac{1}{2} \left(\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. y - z \left.\right)^{2} + \left(\right. z - x \left.\right)^{2} \left.\right) \geq 0\).

Áp dụng BĐT phụ này với \(x = a^{3} , y = b^{3} , z = c^{3}\), ta được:
\(\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2} \geq 3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)\)
\(\Longrightarrow \frac{\left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)^{2}}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)} \geq \frac{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)}{3 \left(\right. a^{3} b^{3} + b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} \left.\right)} = 1\)

Vậy, ta có \(S \geq 1\).

Bước 3: Kết hợp các kết quả và kết luận

Từ Bước 1, ta có \(P \geq 2 S\).
Từ Bước 2, ta có \(S \geq 1\).
Kết hợp lại, ta được:
\(P \geq 2 \cdot 1 = 2\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\).

Bước 4: Xét điều kiện xảy ra dấu bằng

Để \(P = 2\), các dấu “=” trong các bất đẳng thức ta đã dùng phải đồng thời xảy ra.

1. Dấu “=” ở Bước 1 (AM-GM) xảy ra khi:
   \(\begin{cases} b^2 = c^2 \\ c^2 = a^2 \\ a^2 = b^2 \end{cases} \implies a=b=c\) (vì \(a , b , c\) dương).
2. Dấu “=” ở Bước 2 (Cauchy-Schwarz) xảy ra khi:
   \(\frac{a^{3}}{b^{3} + 2 c^{3}} = \frac{b^{3}}{c^{3} + 2 a^{3}} = \frac{c^{3}}{a^{3} + 2 b^{3}}\) và \(a^{3} = b^{3} = c^{3}\).
   Cả hai điều kiện này đều dẫn đến \(a = b = c\).

Kết hợp với giả thiết