HELP ME!

a, Ta co 2 bo de quen thuoc sau : FC la phan giac ^EFD, FB la phan giac PFD

ma QR//EP nen

\(\widehat{PFB}=\widehat{FQD}=\widehat{QFD}\Rightarrow\Delta DFQ\) can tai D => DF=DQ (1)

mat khac theo tinh chat tia phan giac ngoai ^PFD co \(\frac{FD}{FP}=\frac{CD}{CP}\) 

ma \(\frac{CD}{CP}=\frac{DT}{PF}\) (DT//PF)

suy ra \(\frac{DF}{PF}=\frac{DT}{PF}\Rightarrow DT=DF\) (2)

Tu(1)va (2) suy ra DT=DQ hay D la trung diem QT

b, Goi S la trung diem BC ta chung minh PQSR noi tiep 

Co \(\Delta PSE~\Delta ESD\left(G-G\right)\Rightarrow\frac{PS}{ES}=\frac{ES}{SD}\Leftrightarrow ES^2=PS.DS\)

lai co ES=SB=SC do S la trung diem canh huyen BC cua tam giac vuong BEC

suy ra \(BS^2=PS.SD=DS\left(PD+DS\right)=SD^2+PD.DS\)

=> \(PD.DS=BS^2-SD^2=\left(BS-DS\right)\left(BS+DS\right)=BD.DC\) (3)

Mat khac ^DQB=^PFB(cmt)

^PFB=^RCD( BFEC nt)

suy ra ^DQB=^RCD=> BQCR noi tiep

=> \(BD.DC=DQ.DR\) (4)

Tu (3),(4) suy ra DP.DS=DQ.DR => PQDR noi tiep 

=> (PQR) di qua S la trung diem BC co dinh

c,lay H' doi xung voi H qua BC, ta co H' thuoc (O) .

ta lai co bo de sau : \(BD.DC=DH.DA\) (quen thuoc)

suy ra \(DP.DS=DH.DA\left(=DB.DC\right)\)

<=> \(\frac{DH}{DP}=\frac{DS}{DA}\)

ma ^HDP=^SDA=90

suy ra \(\Delta DHP~\Delta DSA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{DHP}=\widehat{DSA}\)

va \(\widehat{DSA}=\widehat{AHK}\left(phu\widehat{DAS}\right)\)

=>\(\widehat{DHP}=\widehat{AHK}\) => P,H,K thang hang

lai co \(\widehat{AFH}=\widehat{AKH}=\widehat{AEH}=90\)

=> A,F,H,K,E cung thuoc 1 duong tron =. FHKE noi tiep

=>\(PF.PE=PH.PK\) (5)

ma BFEC noi tiep => \(PF.PE=PB.PC\) (6)

(5)+(6)Suy ra \(PH.PK=PB.PC\) => BHKC noi tiep

Vi H' ,I doi xung voi H,K qua BC ma BHKC noi tiep => BH'IC noi tiep

do vay \(I\in\left(BH'C\right)=\left(ABH'C\right)=\left(O\right)\)

e,Goi tam (CJL) la U, (U) cat (O) tai V, BC giao OG tai X

=> \(\widehat{VBG}=\widehat{VJG}\left(=\widehat{VCB}\right)\) =>BJVG noi tiep

=> B,J,X,V,G cung thuoc 1 duong tron => ^BVG=^BXG=90

lai co ^XVG +^XBG=180 hay ^XVG+^BAC=180

va ^BVC+^BAC=180

suy ra ^XVG=^BVC

hay 90 +^XVB=^XVB+^XVC

=> ^XVC=90

=> V thuoc duong tron dk XC

mat khac V cung thuoc (O)

suy ra V co dinh ,C co dinh 

suy ra tam U di chuyen tren trung truc VC co dinh (dpcm)

em mới lớp 5 lên ko bít bài này

A B C O E F K I J H M N S T L

c) AT là đường kính của (O), dễ thấy H,K,T thẳng hàng, gọi TH cắt (O) lần nữa tại S, ta được ^ASH = 90⁰

Ta có A,E,H,F,S cùng thuộc đường tròn đường kính AH, suy ra:

(ES,EF) = (AS,AB) = (SC,SB), (SF,SE) = (BS,BC) do đó \(\Delta\)SFE ~ \(\Delta\)SBC

Vì K,L là trung điểm của BC,EF nên \(\Delta\)SFL ~ \(\Delta\)SBK, suy ra \(\Delta\)SFB ~ \(\Delta\)SLK, (KS,KL) = (BS,BA) (1)

Lại có: \(\frac{MF}{MB}=\frac{HF}{HB}=\frac{HE}{HC}=\frac{NE}{NC}\), \(\Delta\)SEC ~ \(\Delta\)SFB, suy ra \(\Delta\)SMN ~ \(\Delta\)SBC

Tương tự như trên, ta thu được (KS,KI) = (BS,BA) (2)

Từ (1);(2) suy ra K,I,L thẳng hàng. Mặt khác K,L,J thẳng hàng vì chúng cách đều E,F.

Do vậy I,J,K thẳng hàng.

(ES,EF) là như nào

Gọi I là trung điểm của BC => BI=IC=1/2 BC (1)

Vì tam giác FBC vuông tại F; FI là đường trung trực của BC =>FI = 1/2 BC (2)

Tương tự => EI = 1/2 BC (3)

Từ (1), (2) và (3) =>EI = BI = IC = FI = 1/2 BC

=>E, B, C, F thuộc một đường tròn

A B C O F H E D I K A' C' B' M N

a) Do BHCK là hình bình hành nên BH // KC \(\Rightarrow KC\perp AC\Rightarrow\widehat{ACK}=90^o\)

KB // CF \(\Rightarrow\widehat{ABK}=90^o\)

Hai tam giác vuông ABK và ACK chung cạnh huyền AK nên A, B, C, K cùng thuộc đường tròn đường kính AK. Vậy K thuộc đường tròn (O).

b) Do BHCK là hình bình hành nên I là trung điểm HK.

AK là đường kính nên \(\widehat{AA'K}=90^o\Rightarrow\) DI // A'K

Vậy DI là đường trung bình tam giác HA'K. Suy ra HD = DA'

Tương tự : HF = FC' ; HE = EB'

Ta có :  \(\frac{AA'}{AD}+\frac{BB'}{BE}+\frac{CC'}{CF}=\frac{AD+DA'}{AD}+\frac{BE+EE'}{BE}+\frac{CF+FC'}{CF}\)

\(=1+\frac{DA'}{AD}+1+\frac{EB'}{BE}+1+\frac{FC'}{CF}=3+\left(\frac{DA'}{AD}+\frac{EB'}{BE}+\frac{FC'}{CF}\right)\)

\(=3+\left(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\right)=3+\left(\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\right)\)

\(=3+\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=3+1=4\)

Vậy nên \(\frac{AA'}{AD}+\frac{BB'}{BE}+\frac{CC'}{CF}=4\)

c) Ta thấy \(\widehat{AKC}=\widehat{ABC}=\widehat{AHF}\)

Vậy nên \(\Delta AFH\sim\Delta ACK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AK}=\frac{AF}{AC}\)  (1)

AFH và AEH là các tam giác vuông chung cạnh huyền AH nên AFHE là tứ giác nội tiếp.

Vậy thì \(\widehat{AFM}=\widehat{AHE}=\widehat{ACN}\)

Lại có \(\Delta AFH\sim\Delta ACK\Rightarrow\widehat{FAM}=\widehat{CAN}\)

Nên \(\Delta AFM\sim\Delta ACN\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AM}{AN}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AH}{AK}=\frac{AM}{AN}\Rightarrow\frac{AH}{AM}=\frac{AK}{AN}\Rightarrow\) MN // HK (Định lý Talet đảo)

ghê quá cô ơi