Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

A = \(\overline{abc}\) ⋮ 27; Chứng minh: B = \(\overline{bca}\) ⋮ 27

Giải:

A = \(\) \(\overline{abc}\)

A = 100a + 10b + c

A = 81a + 19a + 10b + c

A ⋮ 27 ⇒ (81a + 19a + 10b + c) ⋮ 27

(19a + 10b + c) ⋮ 27

10.(19a + 10b + c) ⋮ 27

(190a + 100b + 10c) ⋮ 27

[(100b + 10c + a) + 189a] ⋮ 27

(100b + 10c + a) ⋮ 27 (đpcm)

Ta kí hiệu số gồm ba chữ số a, b, c theo thứ tự là N = 100a + 10b + c và số bca là M = 100b + 10c + a. Giả sử N chia hết cho 27 (tức 27 | N). Ta xét hiệu: M - N = (100b + 10c + a) - (100a + 10b + c) = 90b - 99a + 9c = 9(-11a + 10b + c). Vì N chia hết cho 27 nên đồng thời chia hết cho 9, suy ra a + b + c ≡ 0 (mod 3). Mặt khác: 100 ≡ 10 ≡ 1 (mod 3), nên -11a + 10b + c ≡ a + b + c (mod 3) ≡ 0 (mod 3). Do đó -11a + 10b + c chia hết cho 3, suy ra M - N chia hết cho 27. Từ đó, nếu N chia hết cho 27 thì M = N + (M - N) cũng chia hết cho 27. Vậy nếu số abc chia hết cho 27 thì số bca cũng chia hết cho 27.

Đề bài: Cho số tự nhiên abc chia hết cho 27. Chứng tỏ rằng số bca cũng chia hết cho 27.

Bài giải chi tiết

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích cấu tạo số và tính chất chia hết của một tổng (hoặc hiệu).

Bước 1: Phân tích cấu tạo của các số abc và bca

• Số abc được viết dưới dạng cấu tạo số là: abc = a * 100 + b * 10 + c.
• Tương tự, số bca được viết là: bca = b * 100 + c * 10 + a.

Bước 2: Sử dụng giả thiết và biến đổi biểu thức

• Theo đề bài, ta có abc chia hết cho 27.
  Điều này có nghĩa là: a * 100 + b * 10 + c chia hết cho 27.
• Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng một mẹo nhỏ là nhân abc với 10.
  Vì abc chia hết cho 27, nên 10 * abc cũng chắc chắn chia hết cho 27.
  Ta có:
  10 * abc = 10 * (a * 100 + b * 10 + c)
  10 * abc = a * 1000 + b * 100 + c * 10

Bước 3: Biến đổi khéo léo để làm xuất hiện số bca

Mục tiêu của chúng ta là chứng minh bca = b * 100 + c * 10 + a chia hết cho 27. Hãy xem biểu thức 10 * abc ở trên, nó đã có b * 100 và c * 10 rồi, chúng ta cần làm xuất hiện a.

• Ta có thể tách a * 1000 thành a * 999 + a.
  10 * abc = (a * 999 + a) + b * 100 + c * 10
• Bây giờ, ta sẽ nhóm các số hạng lại để tạo ra số bca:
  10 * abc = a * 999 + (a + b * 100 + c * 10)
  10 * abc = a * 999 + bca

Bước 4: Lập luận và chứng minh

Từ biểu thức 10 * abc = a * 999 + bca, ta có thể suy ra:
bca = 10 * abc - a * 999

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét tính chia hết cho 27 của từng số hạng trong phép trừ này:

1. Xét số hạng 10 * abc:
2. • Theo đề bài, abc chia hết cho 27.
   • Theo tính chất chia hết, nếu một số chia hết cho 27 thì tích của nó với một số bất kỳ cũng chia hết cho 27.
   • Vì vậy, 10 * abc chia hết cho 27.
3. Xét số hạng a * 999:
4. • Ta hãy kiểm tra xem số 999 có chia hết cho 27 không.
   • Ta thực hiện phép chia: 999 : 27 = 37.
   • Vì 999 chia hết cho 27, nên a * 999 cũng chắc chắn chia hết cho 27 (với a là chữ số bất kỳ).

Bước 5: Kết luận

Chúng ta có một tính chất rất quan trọng: Nếu số A chia hết cho m và số B cũng chia hết cho m, thì hiệu (A - B) cũng sẽ chia hết cho m.

• Ở đây, ta đã chứng minh được 10 * abc chia hết cho 27.
• Ta cũng đã chứng minh được a * 999 chia hết cho 27.

Vậy, hiệu của chúng là (10 * abc - a * 999) phải chia hết cho 27.

Mà bca = 10 * abc - a * 999, do đó bca chia hết cho 27.

Điều này đã được chứng minh.

Lời khuyên

1. Nắm vững cấu tạo số: Việc phân tích một số thành tổng các giá trị theo hàng (trăm, chục, đơn vị) là kỹ năng cơ bản và rất quan trọng để giải các bài toán dạng này.
2. Ghi nhớ tính chất chia hết: Hãy luôn nhớ các tính chất như:
3. • Nếu A chia hết cho m thì k * A cũng chia hết cho m.
   • Nếu A chia hết cho m và B chia hết cho m thì (A + B) và (A - B) cũng chia hết cho m.
4. Mạnh dạn biến đổi: Đừng ngại nhân, tách, nhóm các biểu thức. Đôi khi một phép biến đổi nhỏ như nhân thêm 10 hoặc tách một số hạng có thể mở ra hướng đi cho cả bài toán.