Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề so sánh phân số có chứa lũy thừa, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Câu a:

C = \(\frac{13^{15}+1}{13^{16}+1}\) và D = \(\frac{13^{16}+1}{13^{17}+1}\)

D = \(\frac{13^{16}+1}{13^{17}+1}<\) \(\frac{13^{16}+\left(1+12\right)}{13^{17}+\left(1+12\right)}\) = \(\frac{13^{16}+13}{13^{17}+13}\) = \(\frac{13.\left(13^{15}+1\right)}{13.\left(13^{16}+1\right)}\) = \(\frac{13^{15}+1}{13^{16}+1}\) = C

Vậy C > D

Câu b:

A = \(\frac{2008^{2008}+1}{2008^{2009}+1}\); B = \(\frac{2008^{2007}+1}{2008^{2008}+1}\)

A = \(\frac{2008^{2008}+1}{2008^{2009}+1}\) < \(\frac{2008^{2008}+\left(1+2007\right)}{2008^{2009}+\left(1+2007\right)}\)

A < \(\frac{2008^{2008}+2008}{20008^{2009}+2008}\) = \(\frac{2008\left(2008^{2007}+1\right)}{2008.\left(2008^{2008}+1\right)}\) = \(\frac{2008^{2007}+1}{2008^{2008}+1}\) = B

Vậy A < B

Bài toán 1: So sánh C và D

Đề bài:
So sánh C = (13¹⁵ + 1) / (13¹⁶ + 1) và D = (13¹⁶ + 1) / (13¹⁷ + 1)

Phân tích và lời giải:

Đối với dạng toán so sánh hai phân số có tử và mẫu là các lũy thừa lớn như thế này, một phương pháp rất hiệu quả là nhân cả hai biểu thức với một số thích hợp để đưa chúng về dạng có thể so sánh được. Ở đây, ta thấy cơ số chung là 13, vậy ta sẽ thử nhân C và D với 13.

Bước 1: Biến đổi biểu thức 13 * C

Ta có:
C = (13¹⁵ + 1) / (13¹⁶ + 1)

Nhân cả hai vế với 13, ta được:
13 * C = 13 * (13¹⁵ + 1) / (13¹⁶ + 1)
13 * C = (13 * 13¹⁵ + 13 * 1) / (13¹⁶ + 1)
13 * C = (13¹⁶ + 13) / (13¹⁶ + 1)

Bây giờ, ta sẽ tách phân số này thành phần nguyên và phần phân số:
13 * C = (13¹⁶ + 1 + 12) / (13¹⁶ + 1)
13 * C = (13¹⁶ + 1) / (13¹⁶ + 1) + 12 / (13¹⁶ + 1)
13 * C = 1 + 12 / (13¹⁶ + 1)

Bước 2: Biến đổi biểu thức 13 * D

Tương tự, ta có:
D = (13¹⁶ + 1) / (13¹⁷ + 1)

Nhân cả hai vế với 13, ta được:
13 * D = 13 * (13¹⁶ + 1) / (13¹⁷ + 1)
13 * D = (13 * 13¹⁶ + 13 * 1) / (13¹⁷ + 1)
13 * D = (13¹⁷ + 13) / (13¹⁷ + 1)

Tách phân số này thành phần nguyên và phần phân số:
13 * D = (13¹⁷ + 1 + 12) / (13¹⁷ + 1)
13 * D = (13¹⁷ + 1) / (13¹⁷ + 1) + 12 / (13¹⁷ + 1)
13 * D = 1 + 12 / (13¹⁷ + 1)

Bước 3: So sánh 13 * C và 13 * D

Bây giờ chúng ta cần so sánh hai biểu thức mới:
13 * C = 1 + 12 / (13¹⁶ + 1)
13 * D = 1 + 12 / (13¹⁷ + 1)

Vì cả hai biểu thức đều có phần nguyên là 1, ta chỉ cần so sánh phần phân số:
12 / (13¹⁶ + 1) và 12 / (13¹⁷ + 1)

Hai phân số này có cùng tử số là 12. Khi so sánh hai phân số cùng tử dương, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì sẽ lớn hơn.

Ta hãy so sánh hai mẫu số:
Mẫu số thứ nhất: 13¹⁶ + 1
Mẫu số thứ hai: 13¹⁷ + 1

Vì 13 > 1 nên 13¹⁷ > 13¹⁶.
Suy ra: 13¹⁷ + 1 > 13¹⁶ + 1.

Vì mẫu số (13¹⁷ + 1) lớn hơn mẫu số (13¹⁶ + 1) nên:
12 / (13¹⁷ + 1) < 12 / (13¹⁶ + 1)

Từ đó, ta có:
1 + 12 / (13¹⁷ + 1) < 1 + 12 / (13¹⁶ + 1)
Điều này có nghĩa là: 13 * D < 13 * C

Bước 4: Kết luận

Vì 13 * D < 13 * C và 13 là một số dương, ta có thể chia cả hai vế cho 13 mà không làm đổi chiều bất đẳng thức:
D < C

Kết luận cuối cùng: C > D

Bài toán 2: So sánh A và B

Đề bài:
So sánh A = (2008²⁰⁰⁸ + 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1) và B = (2008²⁰⁰⁷ + 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Phân tích và lời giải:

Bài toán này có cấu trúc hoàn toàn tương tự bài toán trên. Ta sẽ áp dụng chính phương pháp nhân với cơ số (là 2008) để so sánh.

Bước 1: Biến đổi biểu thức 2008 * A

Ta có:
A = (2008²⁰⁰⁸ + 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)

Nhân cả hai vế với 2008:
2008 * A = 2008 * (2008²⁰⁰⁸ + 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * A = (2008 * 2008²⁰⁰⁸ + 2008 * 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * A = (2008²⁰⁰⁹ + 2008) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)

Tách thành phần nguyên và phần phân số:
2008 * A = (2008²⁰⁰⁹ + 1 + 2007) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * A = (2008²⁰⁰⁹ + 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1) + 2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * A = 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1)

Bước 2: Biến đổi biểu thức 2008 * B

Tương tự với B:
B = (2008²⁰⁰⁷ + 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Nhân cả hai vế với 2008:
2008 * B = 2008 * (2008²⁰⁰⁷ + 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
2008 * B = (2008 * 2008²⁰⁰⁷ + 2008 * 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
2008 * B = (2008²⁰⁰⁸ + 2008) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Tách thành phần nguyên và phần phân số:
2008 * B = (2008²⁰⁰⁸ + 1 + 2007) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
2008 * B = (2008²⁰⁰⁸ + 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1) + 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
2008 * B = 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Bước 3: So sánh 2008 * A và 2008 * B

Ta so sánh hai biểu thức:
2008 * A = 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * B = 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Tương tự như trên, ta so sánh hai phần phân số có cùng tử số là 2007:
2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1) và 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

So sánh hai mẫu số:
Mẫu số thứ nhất: 2008²⁰⁰⁹ + 1
Mẫu số thứ hai: 2008²⁰⁰⁸ + 1

Vì 2008 > 1 nên 2008²⁰⁰⁹ > 2008²⁰⁰⁸.
Suy ra: 2008²⁰⁰⁹ + 1 > 2008²⁰⁰⁸ + 1.

Vì mẫu số (2008²⁰⁰⁹ + 1) lớn hơn mẫu số (2008²⁰⁰⁸ + 1) nên:
2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1) < 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Từ đó, ta có:
1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1) < 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
Điều này có nghĩa là: 2008 * A < 2008 * B

Bước 4: Kết luận

Vì 2008 * A < 2008 * B và 2008 là một số dương nên:
A < B

Kết luận cuối cùng: A < B

Lời khuyên dành cho bạn

• Nhận dạng bài toán: Khi gặp các bài toán so sánh phân số có dạng (aⁿ + k) / (aⁿ⁺¹ + k), bạn hãy nghĩ ngay đến phương pháp nhân biểu thức với cơ số a.
• Mục tiêu của phương pháp: Việc nhân này giúp chúng ta tách biểu thức thành một phần nguyên (thường là 1) và một phần phân số nhỏ hơn. Điều này làm cho việc so sánh trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
• Ghi nhớ quy tắc so sánh phân số:
• • Nếu hai phân số có cùng tử số dương, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
  • Nếu hai phân số có cùng mẫu số dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.