Phân tích bài toán

Trước hết, chúng ta cần tóm tắt các dữ kiện của bài toán và chuyển chúng thành các biểu thức toán học.

• Gọi:
• • x là diện tích trồng hoa ly (đơn vị: ha).
  • y là diện tích trồng hoa hồng (đơn vị: ha).
• Điều kiện của biến số:
• • Diện tích không thể là số âm nên x ≥ 0 và y ≥ 0.
• Các ràng buộc (bất phương trình):
• 1. Về diện tích: Hộ nông dân có tổng cộng 6 ha đất. Vì vậy, tổng diện tích trồng hoa ly và hoa hồng không thể vượt quá 6 ha.
  2. • Biểu thức toán học là: x + y ≤ 6
  3. Về số công lao động: Tổng số công không vượt quá 80 công.
  4. • Trồng hoa ly cần 10 công/ha, vậy x ha cần 10x công.
     • Trồng hoa hồng cần 20 công/ha, vậy y ha cần 20y công.
     • Biểu thức toán học là: 10x + 20y ≤ 80. Chúng ta có thể rút gọn bất phương trình này bằng cách chia cả hai vế cho 10, ta được: x + 2y ≤ 8.
• Hàm mục tiêu (số tiền lãi):
• • Lãi từ hoa ly là 3 triệu đồng/ha, vậy x ha lãi 3x triệu đồng.
  • Lãi từ hoa hồng là 5 triệu đồng/ha, vậy y ha lãi 5y triệu đồng.
  • Tổng số tiền lãi là: F(x; y) = 3x + 5y (đơn vị: triệu đồng).
  • Mục tiêu của bài toán là tìm x và y sao cho F(x; y) đạt giá trị lớn nhất (lãi cao nhất).

Tóm lại, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

{
  x ≥ 0
  y ≥ 0
  x + y ≤ 6
  x + 2y ≤ 8
}

Và hàm mục tiêu: F(x; y) = 3x + 5y (Tìm giá trị lớn nhất).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng câu khẳng định.

a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn để biểu diễn cho diện tích đất trồng hoa ly và hoa hồng là x + y > 6.

• Lý luận: Theo đề bài, hộ nông dân có 6 ha đất. Điều này có nghĩa là tổng diện tích trồng hai loại hoa (x + y) phải nhỏ hơn hoặc bằng 6 ha.
• Biểu diễn đúng: x + y ≤ 6.
• So sánh: Khẳng định đưa ra là x + y > 6, điều này có nghĩa là tổng diện tích trồng phải lớn hơn 6 ha, trái ngược với dữ kiện bài toán.
• Kết luận: Khẳng định (a) là Sai.

b) Số tiền lãi mà hộ nông dân thu được là: F(x; y) = 3x + 5y (triệu đồng).

• Lý luận:
• • Tiền lãi từ x ha hoa ly là 3x triệu đồng.
  • Tiền lãi từ y ha hoa hồng là 5y triệu đồng.
  • Tổng tiền lãi là tổng của hai khoản lãi trên.
• Biểu diễn đúng: F(x; y) = 3x + 5y.
• So sánh: Khẳng định này hoàn toàn trùng khớp với phân tích của chúng ta.
• Kết luận: Khẳng định (b) là Đúng.

c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị các điều kiện của bài toán là miền tam giác.

• Lý luận: Để xác định hình dạng của miền nghiệm, chúng ta cần vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
• • x = 0 (Trục Oy)
  • y = 0 (Trục Ox)
  • d₁: x + y = 6
  • d₂: x + 2y = 8
• Xác định miền nghiệm:
  Miền nghiệm của hệ là phần giao của tất cả các miền nghiệm trên. Đó là một đa giác lồi. Các đỉnh của đa giác này là giao điểm của các đường thẳng biên.
• 1. x ≥ 0 và y ≥ 0: Lấy phần mặt phẳng ở góc phần tư thứ nhất (bao gồm cả các trục tọa độ).
  2. x + y ≤ 6: Lấy phần mặt phẳng nằm phía dưới đường thẳng d₁ (bao gồm cả đường thẳng d₁).
  3. x + 2y ≤ 8: Lấy phần mặt phẳng nằm phía dưới đường thẳng d₂ (bao gồm cả đường thẳng d₂).
• Tìm các đỉnh của miền nghiệm:
  Miền nghiệm là tứ giác OABC với các đỉnh là O(0;0), A(6;0), B(4;2) và C(0;4).
• • Đỉnh O: Giao điểm của x = 0 và y = 0 là O(0; 0).
  • Đỉnh A: Giao điểm của d₂ và trục Ox (y = 0).
  • • x + 2(0) = 8 => x = 8. Tuy nhiên, điểm này không thỏa mãn x+y <= 6 (vì 8+0 > 6). Giao điểm của d₁ và trục Ox (y=0) là x+0 = 6 => x=6. Vậy một đỉnh là A(6; 0).
  • Đỉnh B: Giao điểm của d₁ và d₂. Ta giải hệ phương trình:

  • { x + y = 6   (1)
    { x + 2y = 8  (2)

  • Lấy (2) trừ (1) vế theo vế, ta được: y = 2.
    Thay y = 2 vào (1): x + 2 = 6 => x = 4.
    Vậy giao điểm là B(4; 2).
  • Đỉnh C: Giao điểm của d₂ và trục Oy (x = 0).
  • • 0 + 2y = 8 => y = 4.
      Vậy giao điểm là C(0; 4).
• Kết luận: Miền nghiệm là một tứ giác chứ không phải tam giác. Khẳng định (c) là Sai.

d) Số tiền lãi mà hộ nông dân thu được cao nhất là 22 triệu đồng.

• Lý luận: Theo lý thuyết về quy hoạch tuyến tính, giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của một hàm mục tiêu F(x; y) trên một miền đa giác lồi sẽ đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
  Chúng ta sẽ tính giá trị của F(x; y) = 3x + 5y tại các đỉnh của miền nghiệm đã tìm ở câu c:
• • Tại O(0; 0): F(0; 0) = 3(0) + 5(0) = 0 (triệu đồng).
  • Tại A(6; 0): F(6; 0) = 3(6) + 5(0) = 18 (triệu đồng).
  • Tại B(4; 2): F(4; 2) = 3(4) + 5(2) = 12 + 10 = 22 (triệu đồng).
  • Tại C(0; 4): F(0; 4) = 3(0) + 5(4) = 20 (triệu đồng).
• So sánh các giá trị: 0 < 18 < 20 < 22.
• Kết luận: Giá trị lớn nhất của F(x; y) là 22 triệu đồng, đạt được khi x = 4 và y = 2. Khẳng định (d) là Đúng.

Tổng kết và Lời khuyên

• Khẳng định (a): Sai.
• Khẳng định (b): Đúng.
• Khẳng định (c): Sai.
• Khẳng định (d): Đúng.

Lời khuyên dành cho bạn:

1. Đọc kỹ đề bài: Đây là bước quan trọng nhất. Bạn cần xác định rõ các "ràng buộc" (thường là các cụm từ "không vượt quá", "tối đa", "tối thiểu", "tổng là"...) và "mục tiêu" (lợi nhuận lớn nhất, chi phí nhỏ nhất...).
2. Chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học:
3. • Thiết lập các bất phương trình từ các ràng buộc. Nhớ kiểm tra các điều kiện ẩn như x ≥ 0, y ≥ 0.
   • Viết hàm mục tiêu (thường ký hiệu là F hoặc P, T...).
4. Giải hệ bất phương trình:
5. • Vẽ các đường thẳng biên.
   • Xác định miền nghiệm bằng cách kiểm tra một điểm (thường là gốc tọa độ O(0;0) nếu nó không nằm tr...