Giải nhanh:
\(x^{2} - 2 \sqrt{2 x - 1} = \frac{13 x^{2} - 28 x + 24}{2 x + 1}\)
→ Nghiệm xấp xỉ x ≈ 4.2 (điều kiện \(x \geq 0.5\)).

giải ra nhiều lắm

-2--1

Ta giải phương trình

\(x^{2} - 2 \sqrt{2 x - 1} = \frac{13 x^{2} - 28 x + 24}{2 x + 1} .\)

1. Xét miền nghiệm: căn thực khi \(2 x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}\). (Ngoài ra \(2 x + 1 \neq 0\) nhưng với \(x \geq \frac{1}{2}\) điều này luôn đúng.)
2. Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt{2 x - 1}\) (vậy \(t \geq 0\) và \(x = \frac{t^{2} + 1}{2}\)). Thay vào phương trình:

\(\frac{\left(\right. t^{2} + 1 \left.\right)^{2}}{4} - 2 t = \frac{13 \frac{\left(\right. t^{2} + 1 \left.\right)^{2}}{4} - 28 \frac{\left(\right. t^{2} + 1 \left.\right)}{2} + 24}{t^{2} + 2} .\)

Rút gọn và đưa về một đa thức cho \(t\) ta được (sau nhân chéo và khử mẫu):

\(\frac{t^{6} - 9 t^{4} - 8 t^{3} + 35 t^{2} - 16 t - 51}{4 \left(\right. t^{2} + 2 \left.\right)} = 0.\)

Vì \(t^{2} + 2 > 0\) nên xét tử số:

\(t^{6} - 9 t^{4} - 8 t^{3} + 35 t^{2} - 16 t - 51 = 0.\)

Phân tích đa thức:

\(\left(\right. t - 3 \left.\right) \left(\right. t + 1 \left.\right) \left(\right. t^{4} + 2 t^{3} - 2 t^{2} - 6 t + 17 \left.\right) = 0.\)

1. Tìm nghiệm thực với điều kiện \(t \geq 0\):

• \(t = 3\) là nghiệm và thỏa \(t \geq 0\).
• \(t = - 1\) bỏ vì \(t \geq 0\).
• Các nghiệm của đa thức bậc 4 đều phức không thực.

1. Quay lại \(x\): từ \(t = 3\) suy ra

\(x = \frac{t^{2} + 1}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5.\)

1. Kiểm tra trực tiếp vào phương trình gốc: cả hai vế đều bằng \(19\), nên \(x = 5\) là nghiệm hợp lệ.

Kết luận: Phương trình có đúng một nghiệm thực: \(\boxed{x = 5}\).