a: Gọi G là giao điểm của BC và OI

I đối xứng với O qua BC

=>BC là đường trung trực của OI

=>BO=BI và CO=CI

mà BO=CO

nên BO=BI=CO=CI

=>BOCI là hình thoi

=>OI⊥BC tại G và G là trung điểm chung của OI và BC

Gọi K là giao điểm thứ hai của AO với (O)

=>AK là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BK⊥BA

mà CH⊥BA

nên BK//CH

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CK⊥CA

mà BH⊥CA

nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà G là trung điểm của BC

nên G là trung điểm của HK

Xét ΔKAH có

O,G lần lượt là trung điểm của KA,KH

=>OG là đường trung bình của ΔKAH

=>AH=2OG

mà OI=2OG

nên AH=OI

Ta có: AH⊥BC

OI⊥BC

Do đó: AH//OI

Xét tứ giác AHIO có

AH//OI

AH=OI

Do đó: AHIO là hình bình hành

=>HI//AO

a: Xét (O) có

ΔABP nội tiếp

AP là đường kính

Do đó: ΔABP vuông tại B

=>BA⊥BP

mà CH⊥BA

nên CH//BP

Xét (O) có

ΔACP nội tiếp

AP là đường kính

Do đó: ΔACP vuông tại C

=>CP⊥CA

mà BH⊥CA

nên BH//CP

Xét tứ giác BHCP có

BH//CP

BP//CH

Do đó: BHCP là hình bình hành

Gọi HP cắt CB tại I

BHCP là hình bình hành

=>BC cắt HP tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của HP và BC

Xét (O) có

ΔAKP nội tiếp

AP là đường kính

Do đó: ΔAKP vuông tại K

=>AK⊥KP

mà AK⊥BC

nên PK//BC

Xét ΔHKP có

I là trung điểm của HP

DI//KP

Do đó: D là trung điểm của HK

=>DH=DK

b: Xét ΔCKH có

CD là đường cao

CD là đường trung tuyến

Do đó: ΔCKH cân tại C

=>CH=CK

mà CH=BP

nên BP=CK

Xét tứ giác BCPK có

BC//PK

BP=CK

Do đó: BCPK là hình thang cân

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

Ta có: CM+MD=CD
mà CM=CA và DM=DB

nên CA+BD=CD
b: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

c: Ta có: MH⊥AB

AC⊥BA

DB⊥BA

DO đó: MH//AC//BD

Xét ΔCDB có MI//DB

nên \(\frac{CI}{IB}=\frac{CM}{MD}=\frac{CA}{BD}\)

Xét ΔICA và ΔIBD có

\(\frac{IC}{IB}=\frac{CA}{BD}\)

góc ICA=góc IBD(Hai góc so le trong, AC//BD)

Do đó: ΔICA~ΔIBD

=>\(\hat{CIA}=\hat{BID}\)

mà \(\hat{CIA}+\hat{AIB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BID}+\hat{AIB}=180^0\)

=>A,I,D thẳng hàng

Gọi F là giao điểm của AM và BD

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>BM⊥AF tại M

=>ΔBMF vuông tại M

Ta có: \(\hat{DMB}+\hat{DMF}=\hat{FMB}=90^0\)

\(\hat{DBM}+\hat{DFM}=90^0\) (ΔFMB vuông tại M)

mà \(\hat{DMB}=\hat{DBM}\)

nên \(\hat{DMF}=\hat{DFM}\)

=>DM=DF
mà DM=DB

nên DF=DB(1)

Xét ΔADB có IH//DB

nên \(\frac{IH}{DB}=\frac{AI}{AD}\left(2\right)\)

Xét ΔADF có MI//DF
nên \(\frac{MI}{DF}=\frac{AI}{AD}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra IH=MI

=>I là trung điểm của MH

d: Xét ΔBAC có IH//AC
nên \(\frac{IH}{AC}=\frac{BI}{BC}\left(4\right)\)

Xét ΔBEC có MI//EC
nên \(\frac{MI}{EC}=\frac{BI}{BC}\left(5\right)\)

Từ (4),(5) suy ra \(\frac{IH}{AC}=\frac{MI}{EC}\)

mà IH=IM

nên AC=EC

=>C là trung điểm của AE

a: Xét ΔMAB vuông tại A và ΔMDE vuông tại M có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DME}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAB=ΔMDE

=>AB=DE

BC=AB+CD

=>BC=DE+DC=CE

=>ΔCBE cân tại C

b: Kẻ MK⊥BC tại K

ΔCBE cân tại C

=>\(\hat{CBE}=\hat{CEB}\)

mà \(\hat{CEB}=\hat{ABE}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{CBE}=\hat{ABE}\)

=>BE là phân giác của góc ABC

Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBKM vuông tại K có

BM chung

\(\hat{ABM}=\hat{KBM}\)

Do đó: ΔBAM=ΔBKM

=>MA=MK

=>MA=MK=MD

=>K nằm trên đường tròn đường kính AD

Xét (M) có

MK là bán kính

BC⊥MK tại K

Do đó: BC là tiếp tuyến của (M)

=>BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD

Gọi giao điểm của AD và CB là K

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥KB tại C

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>BD⊥KA tại D

Xét ΔKAB có

AC,BD là các đường cao

AC cắt BD tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔAKB

=>KE⊥AB tại M

Xét ΔAME vuông tại M và ΔACB vuông tại C có

\(\hat{MAE}\) chung

Do đó: ΔAME~ΔACB

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AM\cdot AB=AE\cdot AC\)

Xét ΔBME vuông tại M và ΔBDA vuông tại D có

\(\hat{MBE}\) chung

DO đó: ΔBME~ΔBDA

=>\(\frac{BM}{BD}=\frac{BE}{BA}\)

=>\(BD\cdot BE=BM\cdot BA\)

\(AE\cdot AC+BD\cdot BE\)

\(=AM\cdot AB+BM\cdot AB\)

\(=AB\left(AM+BM\right)=AB^2\) không đổi khi E di chuyển trong (O)

a: ĐKXĐ: x>=-4

\(x^2+3x+24=12\sqrt{x+4}\)

=>\(x\left(x+3\right)-12\sqrt{x+4}+24=0\)

=>\(x\left(x+3\right)-12\left(\sqrt{x+4}-2\right)=0\)

=>\(x\left(x+3\right)-12\cdot\frac{x+4-4}{\sqrt{x+4}+2}=0\)

=>\(x\left(x+3\right)-\frac{12x}{\sqrt{x+4}+2}=0\)

=>\(x\left(x+3-\frac{12}{\sqrt{x+4}+2}\right)=0\)

=>\(x\left\lbrack x+\frac{3\sqrt{x+4}+6-12}{\sqrt{x+4}+2}\right\rbrack=0\)

=>\(x\left\lbrack x+\frac{3\sqrt{x+4}-6}{\sqrt{x+4}+2}\right\rbrack=0\)

=>\(x\cdot\left\lbrack x+\frac{3\left(\sqrt{x+4}-2\right)}{\sqrt{x+4}+2}\right\rbrack=0\)

=>\(x\cdot\left\lbrack x+3\cdot\frac{x+4-4}{\left(\sqrt{x+4}+2\right)\left(\sqrt{x+4}+2\right)}\right\rbrack=0\)

=>\(x^2\left(1+\frac{3}{\left(\sqrt{x+4}+2\right)^2}\right)=0\)

=>\(x^2=0\)

=>x=0(nhận)

b:

ĐKXĐ: x>=-5/2

\(x^2+\sqrt{2x+5}=2x+3+\sqrt{x^2+2}\)

=>\(x^2-2x-3=\sqrt{x^2+2}-\sqrt{2x+5}\)

=>\(\left(x-3\right)\left(x+1\right)=\frac{x^2+2-2x-5}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{2x+5}}\)

=>\(\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{2x+5}}\right)=0\)

=>(x-3)(x+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=3\left(nhận\right)\\ x=-1\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Bạn học CMATH phải không vậy bạn? Mình thấy phiếu quen quen.

Bạn học CMATH phải không vậy bạn? Mình thấy quen quen.

ĐÂY LÀ CMATH phải không