📟

Bước 1. Xét chia cho 3

Ta biết các số chính phương mod 3 chỉ có thể là:

\(x^{2} \equiv 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)

Ta tính \(2051 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):

\(2 + 0 + 5 + 1 = 8 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)

Suy ra:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)

Giờ ta thử mọi khả năng của tổng 3 số mỗi số ≡ 0 hoặc 1 mod 3:

• \(0 + 0 + 0 \equiv 0\)
• \(0 + 0 + 1 \equiv 1\)
• \(0 + 1 + 1 \equiv 2\)
• \(1 + 1 + 1 \equiv 0\)

Để tổng ≡ 2 mod 3, chỉ có trường hợp một số chia hết cho 3 và hai số không chia hết cho 3.

⇒ Ít nhất một trong a, b, c chia hết cho 3
→ abc chia hết cho 3.

Bước 2. Xét chia cho 4

Ta biết:

\(x^{2} \equiv 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right) .\)

Tính \(2051 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\):
\(2051 = 2048 + 3 \Rightarrow 2051 \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right) .\)

Vậy:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right) .\)

Muốn tổng ≡ 3 mod 4 thì phải có ba số đều lẻ (vì \(1 + 1 + 1 = 3\)).

→ \(a , b , c\) đều lẻ, nên \(a b c\) lẻ, không chia hết cho 2.

Kết luận:

• \(a b c\) chia hết cho 3
• \(a b c\) không chia hết cho 4, nên không chia hết cho 12.

✅ Do đó, \(a b c\) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 12.