a: Xét ΔADN vuông tại D và ΔABM vuông tại B có

AD=AB

DN=BM

Do đó: ΔADN=ΔABM

=>AN=AM

=>ΔAMN cân tại A

b: ΔADN=ΔABM

=>\(\hat{DAN}=\hat{BAM}\)

mà \(\hat{BAM}+\hat{MAD}=\hat{BAD}=90^0\)

nên \(\hat{DAN}+\hat{DAM}=90^0\)

=>\(\hat{NAM}=90^0\)

Xét tứ giác ANEM có

O là trung điểm chung của AE và NM

=>ANEM là hình bình hành

Hình bình hành ANEM có AN=AM và \(\hat{NAM}=90^0\)

nên ANEM là hình vuông

c: ΔNCM vuông tại C

mà CO là đường trung tuyến

nên \(CO=\frac{NM}{2}\)

mà NM=AE(ANEM là hình vuông)

nên \(CO=\frac{AE}{2}\)

Xét ΔCAE có

CO là đường trung tuyến

\(CO=\frac{AE}{2}\)

Do đó: ΔCAE vuông tại C

=>\(\hat{ACE}=90^0\)

d: Ta có: ΔANM vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên \(AO=\frac{NM}{2}\)

=>AO=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: ABCD là hình vuông

=>BA=BC; DA=DC

DA=DC nên D nằm trên đường trung trực của AC(2)

BA=BC nên B nằm trên đường trung trực của AC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,D,O thẳng hàng

Ý c còn thiếu nhg mik vẫn tích cho bn ý c mik lm đc r

\(\text{GIẢI :}\)

A B C H D O I x y

a) Xét \(\diamond\text{ACDO}\) có \(\widehat{\text{OAC}}=\widehat{\text{ACD}}=\widehat{\text{CDO}}\text{ }\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ACDO}\) là hình chữ nhật.

mà \(AC=CD\text{ }\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ACDO}\) là hình vuông.

b) Xét ABC , có : \(\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}\) (1)

Xét ABH , có : \(\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-\widehat{ABH}\)

hay \(\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-\widehat{ABC}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\text{ }\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\).

Xét \(\bigtriangleup\text{ABC và }\bigtriangleup\text{OIA}\), có :

\(\widehat{IOA}=\widehat{BAC}\text{ }\left(90^{\text{o}}\right)\)

\(AO=AC\) (vì \(\diamond\text{ACDO}\) là hình vuông)

\(\widehat{IAO}=\widehat{ACB}\) (vì \(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\), \(\widehat{IAO}\) và \(\widehat{BAH}\) đối đỉnh)

\(\Rightarrow\bigtriangleup\text{ABC}=\bigtriangleup\text{OIA}\) (g.c.g)

\(\Rightarrow\text{ IA = BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm).

GIẢI :

A B C H D O I x y

a) Xét \(\diamond \text{ACDO}\) có \(\hat{\text{OAC}} = \hat{\text{ACD}} = \hat{\text{CDO}} \&\text{nbsp}; \left(\right. = 9 0^{0} \left.\right)\)

\(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình chữ nhật.

mà \(� � = � � \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình vuông.

b) Xét ABC , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{0} - \hat{� � �}\) (1)

Xét ABH , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\)

hay \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \hat{� � �} = \hat{� � �}\).

Xét \(\triangle \text{ABC}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \triangle \text{OIA}\), có :

\(\hat{� � �} = \hat{� � �} \&\text{nbsp}; \left(\right. 9 0^{\text{o}} \left.\right)\)

\(� � = � �\) (vì \(\diamond \text{ACDO}\) là hình vuông)

\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) (vì \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\), \(\hat{� � �}\) và \(\hat{� � �}\) đối đỉnh)

\(\Rightarrow \triangle \text{ABC} = \triangle \text{OIA}\) (g.c.g)

\(\Rightarrow \&\text{nbsp};\text{IA}\&\text{nbsp};=\&\text{nbsp};\text{BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcmGIẢI :

A B C H D O I x y

a) Xét \(\diamond \text{ACDO}\) có \(\hat{\text{OAC}} = \hat{\text{ACD}} = \hat{\text{CDO}} \&\text{nbsp}; \left(\right. = 9 0^{0} \left.\right)\)

\(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình chữ nhật.

mà \(� � = � � \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình vuông.

b) Xét ABC , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{0} - \hat{� � �}\) (1)

Xét ABH , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\)

hay \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \hat{� � �} = \hat{� � �}\).

Xét \(\triangle \text{ABC}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \triangle \text{OIA}\), có :

\(\hat{� � �} = \hat{� � �} \&\text{nbsp}; \left(\right. 9 0^{\text{o}} \left.\right)\)

\(� � = � �\) (vì \(\diamond \text{ACDO}\) là hình vuông)

\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) (vì \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\), \(\hat{� � �}\) và \(\hat{� � �}\) đối đỉnh)

\(\Rightarrow \triangle \text{ABC} = \triangle \text{OIA}\) (g.c.g)

\(\Rightarrow \&\text{nbsp};\text{IA}\&\text{nbsp};=\&\text{nbsp};\text{BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm

a.vì tứ giác ABCD là hình bình hành
suy ra AB//CD, AB = CD
vì AB = CD mà M, N lần lượt là trung điểm AB, CD
suy ra AM = CN
mà AM//CN (M, N thuộc AB, CD) và AM = CN
\(\Rightarrow\) tứ giác AMCN là hình bình hành

b.MF//AE, M là trung điểm AB nên MF là đường trung bình của tam giác

Suy ra F là trung điểm của BE

c.vì AMCN là hình bình hành
suy ra AN//CM
xét tam giác ABE có
MF//AE, M là trung điểm AB
suy ra MF là đường trung bình của tam giác
suy ra F là trung điểm BE
chứng minh tương tự với tam giác CDF, ta được E là trung điểm DF
từ đó suy ra DE = EF = FB

a) Xét hình bình hành ABCD có:

AB=CD => AM=CN (1)

AB//CD => AM//CN (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác AMCN là hình bình hành (dấu hiệu 3)

b) Ta có: MF//AE (do CM//AN)

Xét tam giác BEA có:

MF//AE

AM=MB

=> MF là đường trung bình của tam giác BEA

=> EF=FB hay F là trung điểm của BE

c) Ta có: CF//NE (do CM//AN)

Xét tam giác DFC có:

DN=NC

CF//NE

=> NE là đường trung bình của tam giác DFC

=> DE=EF

mà EF=FB nên DE=EF=FB

Giải:

bạn dùng tính chất đương phân giác rồi suy ra tỉ leejj bằng nhau 

A D B C K I 1 1 2 1

a) Vì ABCD là hình bình hành ( GT ) 

\(\Rightarrow AD//BC\left(Tc\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{KAI}=\widehat{AIB}\)( 2 góc so le trong )

Mà \(\widehat{KAI}=\widehat{BAI}\)( vì AI là phân giác của góc BAD )

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{BAI}\)

Xét \(\Delta ABI\)có : \(\widehat{AIB}=\widehat{BAI}\)

\(\Rightarrow\Delta ABI\) cân tại B ( Dấu hiệu nhận biết ) 

b) Ta có : CK là phân giác của góc DCI ( GT )

\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{\widehat{DCI}}{2}\left(1\right)\)

AI là phân giác của góc BAK ( GT )

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{A_1}=\frac{\widehat{BAK}}{2}\left(2\right)\)

Mà \(\widehat{BAK}=\widehat{DCI}\) ( ABCD là hình bình hành ) (3)

Từ ( 1 ) ,(2 ) ,( 3)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{C_2}\)

Mà \(\widehat{BAI}=\widehat{BIA}\)( chứng minh trên)

\(\Rightarrow\widehat{BIA}=\widehat{C_2}\)

c) Bạn tự làm nốt nha ! 

A B C I D

a.Xét tgiac ADB và tgiac ACI có:

góc BAD = góc IAC(gt)

góc BDA= góc ICA(gt)

Vậy tgiac ADB đồng dạng với tgiac ACI(g.g)

=> góc ABD = góc AIC => góc ABD = góc DIC 

b.xét tgiac ADB và tgiac CDI có:

góc ADB= góc CDI(đối đỉnh)

góc ABD= góc CID(cmt)

vậy tgiac ADB đồng dạng với tgiac CDI(g.g)

c.theo câu a tgiac ADB đồng dạng với tgiac ACI nên ta có:

\(\frac{AD}{AC}\)=\(\frac{AB}{AI}\)=> AB.AC=AD.AI(1)

theo câu b ta lại có tgiac ADB đồng dạng với tgiac CDI nên ta có:

\(\frac{BD}{DI}\)=\(\frac{AD}{CD}\)=> BD.CD=DI.AD(2)

TỪ (1) VÀ (2) ta có:

AB.AC-DB.DC=AD.AI-DI.AD=AD.(AI-DI)=AD.AD=\(AD^2\)(ĐPCM)