a/ Ta có :

\(A=4+4^2+.....+4^{23}+4^{24}\)

\(=\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+....+\left(4^{23}+4^{24}\right)\) (12 nhóm)

\(=4\left(4+4^2\right)+4^3\left(4+4^2\right)+.......+4^{23}\left(4+4^2\right)\)

\(=4.20+4^3.20+.....+4^{23}.20\)

\(=20\left(4+4^3+...+4^{23}\right)⋮20\)

\(\Leftrightarrow A⋮20\left(đpcm\right)\)

b/ Ta có :

\(A=4+4^2+4^3+........+4^{23}+4^{24}\)

\(=\left(4+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+.......+\left(4^{22}+4^{23}+4^{24}\right)\)

\(=4\left(1+4+4^2\right)+4^4\left(1+4+4^2\right)+....+4^{22}\left(1+4+4^2\right)\)

\(=4.21+4^4.21+....+4^{22}.21\)

\(=21\left(4+4^4+......+4^{22}\right)⋮21\)

\(\Leftrightarrow A⋮21\left(đpcm\right)\)

*A chia hết cho 20 : A có 24 lũy thừa.
Trước hết ta thấy rõ A chia hết cho 4 vì từng số hang của dãy số A chia hết cho 4
A có 24 lũy thừa nên ta chia thành 12 cặp lũy thừa
A = (4+4^2) + (4^3+4^4) + ...+ (4^23+4^24)
A = 4.(1+4) + 4^3.(1+4) + ...+ 4^23.(1+4)
A = 4.5 + 4^3.5 + .....+ 4^23.5
vậy A chia hết cho 5 và 4 nên A chia hết cho 20

*A chia hết cho 21 : A có 24 lũy thừa

Nhóm thành mỗi nhóm 3 lũy thừa ta được 8 nhóm lũy thừa
A = 4.(1+4+4^2) + ......+ 4^22.(1+4+4^2)
A = 4.21 + ......+4^22.21 => A chia hết 21

Vậy A chia hết cho 21.

*A chia hết cho 420 .

Ta có : A chia hết cho 20 và 21 mà 20 và 21 là nguyên tố cùng nhau nên
A chia hết cho 20.21 = 420 (Áp dụng: Một số đồng thời chia hết cho cả m và n. m và n đồng thời chỉ chia hết cho 1 và chính nó thì số đó chia hết cho tích mxn)

Vậy A chia hết cho 420 .

toán chứng minh dễ mà bn

tek bn lm i

dấu hiệu chia hết  cho 4 nè : 

hai số cuối cùng chia hết cho 4 : ví dụ: 6532 có hai số cuối cùng là 32 chia hết cho 4

a, 4 + \(4^2\) + \(4^3\) + ... + \(4^{60}\) chia hết cho 5

= ( 4 + \(4^2\) ) + ( \(4^3\) + \(4^4\) ) +... + ( \(4^{59}\) + \(4^{60}\))

= ( 4 + \(4^2\) ) + \(4^3\) . ( 4 + \(4^2\) ) +... + \(4^{59}\). ( 4 + \(4^2\) )

= 20 + \(4^3\) . 20 + ... + \(4^{59}\) . 20

= 20 . ( 1 + \(4^3\) + ... + \(4^{59}\) ) chia hết cho 5

4 + \(4^2\) + \(4^3\) + ... + \(4^{60}\) chia hết cho 21

= ( 4 + \(4^2\) + \(4^3\) ) + ( \(4^4\) + \(4^5\) + \(4^6\) ) + ... + ( \(4^{58}\)+ \(4^{59}\) + \(4^{60}\) )

= ( 4 + \(4^2\) + \(4^3\) ) + \(4^4\) . ( 4 + \(4^2\) + \(4^3\) ) + ... + \(4^{58}\) . ( 4 + \(4^2\) + \(4^3\) )

= 84 + \(4^4\) . 84 + .... + \(4^{58}\) . 84

= 84 . ( 1 + \(4^4\) + ... + \(4^{58}\) ) chia hết cho 21

b, 5 + \(5^2\) + \(5^3\) + ... + \(5^{10}\) chia hết cho 6

= ( 5 + \(5^2\) ) + ( \(5^3\) + \(5^4\) ) + ... + ( \(5^9\) + \(5^{10}\) )

= ( 5 + \(5^2\) ) + \(5^3\) . ( 5 + \(5^2\) ) + ... + \(5^9\) . ( 5 + \(5^2\) )

= 30 + \(5^3\) . 30 + ... + \(5^9\) . 30

= 30 . ( 1 + \(5^3\) + ... + \(5^9\) ) chia hết cho 6

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4²⁰⁰⁰

A = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + ... + (4¹⁹⁹⁸ + 4¹⁹⁹⁹ + 4²⁰⁰⁰)

A = 21 + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... + 4¹⁹⁹⁸.(1 + 4 + 4²)

A = 21 + 4³.21 + ... + 4¹⁹⁹⁸.21

A = 21.(1 + 4³ + ... + 4¹⁹⁹⁸)

Vì 21 chia hết cho 21 => 21.(1 + 4³ + ... + 4¹⁹⁹⁸) chia hết cho 21 hay A chia hết cho 21 (đpcm)

nhóm 3 số vào 1 nhóm tính số số hạng rồi đặt thừa sô chung là 21 thì chia hết cho 21